[論文レビュー] Conservation laws for non global Lagrangians

A. Borowiec, M. Ferraris+2 more|ArXiv.org|Jan 31, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、変分列とCechコホモロジーを用いて、場の理論における非グローバルなラグランジアンの保存則を調査する。ラグランジアンがグローバルに定義されていなくても、関連するオイラー＝ラグランジュ写像のコホモロジーが自明であれば、保存電流は依然としてグローバルに実現可能であり、改善されたネーター電流を用いることで、トポロジカルに非自明な設定へのネーターの定理の拡張が可能であることを示している。

ABSTRACT

In the Lagrangian framework for symmetries and conservation laws of field theories, we investigate globality properties of conserved currents associated with non-global Lagrangians admitting global Euler--Lagrange morphisms. Our approach is based on the recent geometric formulation of the calculus of variations on finite order jets of fibered manifolds in terms of variational sequences.

研究の動機と目的

• 非グローバルなラグランジアンがグローバルに定義されたオイラー＝ラグランジュ写像を備える場合に、それに関連する保存電流のグローバル性を調査すること。
• Cechコホモロジーの役割を分析することで、非グローバルなラグランジアンに対するネーターの定理の拡張を図ること。
• 非グローバルなラグランジアンの一般化された対称性が、どのようにしてグローバルに定義された保存電流を生じるかを特定すること。
• 改善されたネーター電流の概念を導入・分析し、トポロジカルに非自明な設定でグローバル保存を達成する手段とする。
• 非グローバルラグランジアン系において保存電流のグローバル実現が妨げられるトポロジカル障害（Cechコホモロジーを介して）を明確化すること。

提案手法

• ファイバーマニフォールドの有限順序ジャンプ空間上の変分列の幾何的枠組みを用いる。
• 非グローバルラグランジアンを、一般化ラグランジアンの層値をとるCechチェインと見なして分類するため、Cechコホモロジーを適用する。
• 変分リー微分と商層表現を用いて、ネーターの定理の抽象的版を導出する。
• 改善されたネーター電流を、グローバルに定義されたポテンシャル形式βによる標準電流の補正として導入する。
• ジャンプ空間上での外微分を水平成分と垂直成分に分解する（d = dH + dV）ことに依拠する。
• 保存電流がコホモロジー的自明性によりグローバルに実現可能かどうかを判定するための条件 [d˜ǫ]ˇC = δ′(ΞV ηλ) を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非グローバルラグランジアンに対して、保存電流がどのようなトポロジカル条件下でグローバルに実現可能となるか。
• RQ2 オイラー＝ラグランジュ写像のCechコホモロジー類が、保存電流のグローバル性にどのように影響するか。
• RQ3 非グローバルラグランジアンの一般化された対称性が、依然としてグローバル保存電流を生じる可能性があるか。その場合、どのような条件下か。
• RQ4 標準電流が非グローバルである場合、改善されたネーター電流がグローバル保存を達成するために果たす役割は何か。
• RQ5 どのような状況でトポロジカル電荷が生じるか。また、保存則枠組みにおいて、非自明なコホモロジー類とどのように関係するか。

主な発見

• オイラー＝ラグランジュ写像がグローバルに定義される非グローバルラグランジアンに対しては、関連するコホモロジー類 δ′(ΞV ηλ) が自明であれば、保存電流は依然としてグローバルに実現可能である。
• 改善されたネーター電流 ˜ǫ(λ, Ξ) は保存則を満たし、δ′(ΞV ηλ) = 0 のとき、標準電流が非グローバルであってもグローバルに定義可能である。
• Hn dR(Y) ≠ 0 である場合、非自明なコホモロジー類が保存電流のグローバル実現を妨げ、トポロジカル電荷を生じさせる。
• コホモロジー類 δ′(ΞV ηλ) が非自明である場合、改善された電流は保存則を満たすが、グローバルに定義可能ではなく、トポロジカル障害を示している。
• グローバルスーパーポテンシャルの存在は、コホモロジー類 [˜ǫ]ˇC の自明性に等しく、これは δ′(ΞV ηλ) = 0 に等しい。
• この枠組みにより、対称性の作用に関するコホモロジー的条件を示すことで、ネーターの定理が非グローバルラグランジアンへと一般化される。