[論文レビュー] Constant-sized correlations are sufficient to robustly self-test maximally entangled states with unbounded dimension

Honghao Fu|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、r ∈ {2, 3, 5} に対して Θ(r²) のサイズをもつ定数サイズの相関——特にそれらが最大もつ量子状態の無限大次元の局所次元を強固に自己テスト可能であることを示している。Slofstra の埋め込み構成を活用し、小さな原始根をもつ素数の代数的構造を応用することで、ユニタリ共役関係 UOU† = Or を強制する相関を設計した。これにより、次元に依存せずに固定された質問および応答集合を用いて、高次元の最大もつ量子状態を自己テスト可能である。

ABSTRACT

We show that for any prime odd integer $d$, there exists a correlation of size $Θ(r)$ that can robustly self-test a maximally entangled state of dimension $4d-4$, where $r$ is the smallest multiplicative generator of $\mathbb{Z}_d^\ast$. The construction of the correlation uses the embedding procedure proposed by Slofstra (Forum of Mathematics, Pi. Vol. $7$, ($2019$)). Since there are infinitely many prime numbers whose smallest multiplicative generator is at most $5$ (M. Murty The Mathematical Intelligencer $10.4$ ($1988$)), our result implies that constant-sized correlations are sufficient for robust self-testing of maximally entangled states with unbounded local dimension.

研究の動機と目的

• 高次元の局所次元をもつ最大もつ量子状態を自己テストするために必要な質問および応答集合のサイズを最小化すること。
• 無限大次元の局所次元をもつ最大もつ量子状態の自己テストが、定数サイズの相関のみを用いて可能であることを示すこと。
• 小さな原始根をもつ素数（r ∈ {2, 3, 5}）の数論的性質を活用して、このような相関を構築すること。
• qubit や低次元系にとどまらず、任意の大きな次元へと自己テスト枠組みを拡張すること。
• 観測された相関に小さな統計的摂動が生じた場合の自己テストプロトコルのロバスト性を確立すること。

提案手法

• Zp* の乗法的生成子の群論的性質に基づいて得られる、Θ(r) 個の式と変数をもつ線形系 Âx = 0 を用いて、二値線形系から相関 Pp,r を構築する。
• Slofstra の埋め込み手順を用いて、最小原始根が r である各素数 p に対して、固定されたサイズの質問および応答集合をもつ非局所ゲームに線形系を写像する。
• 線形系における完全相関を通じて、ユニタリ共役関係 UOU† = Or を強制し、共有状態に量子的制約を課す。
• 制御ユニタリ操作と entangled アンシラ状態を用いた量子戦略を設計し、相関を実現する。このとき、共有状態が次元 p−1 の最大もつ量子状態と局所等長写像で同一視可能であることを示す。
• 表現論的技法を適用し、完全相関を達成するいかなる戦略も、所定の反可換関係および共役関係を満たす観測量を実装しなければならないことを示す。
• 統計的ずれ ε に対して、実際の状態とターゲットの最大もつ量子状態との距離をバインドすることでロバスト性を証明し、誤差バインドとして O(r^p ε^{1/8}) を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大次元の局所次元をもつ最大もつ量子状態の自己テストが、定数サイズの質問および応答集合のみを用いて達成可能か？
• RQ2 このような定数サイズの相関を構築可能にする素数の数論的性質は何か？
• RQ3 局所次元に比例しない相関を用いて、高次元の最大もつ量子状態を自己テスト可能か？
• RQ4 ユニタリ共役関係 UOU† = Or を、高次元のもつれ状態の自己テストを強制する構造的制約として用いることは可能か？
• RQ5 理想の相関からのわずかなずれに対して、自己テストプロトコルのロバスト性はどの程度か？

主な発見

• 任意の奇素数 p で最小原始根が r である場合、次元 p−1 の最大もつ量子状態を自己テストする、サイズ Θ(r²) の相関 Pp,r の族が存在する。
• r ∈ {2, 3, 5} の場合、無限集合 D に属するすべての素数 p に対して、質問および応答集合のサイズが一定のまま維持される。
• この構成は、ユニタリ共役関係 UOU† = Or を強制する線形系 Âx = 0 に依存しており、これが望ましいもつれ構造を誘導する鍵である。
• 自己テストプロトコルはロバストである：観測された相関が Pp,r から ε だけずれている場合、実際の状態は局所等長写像のもとでターゲットの最大もつ量子状態と O(r^p ε^{1/8}) の距離内にある。
• その結果、原始根が {2, 3, 5} に属する素数が無限に存在することを踏まえ、無限大次元の最大もつ量子状態の自己テストに定数サイズの相関が十分であることが示唆される。
• プロトコルは、ターゲット状態と2つのEPRペアのテンソル積を自己テスト可能に拡張可能であるが、観測量 O₁ および O₂ の個別な自己テストは、異なる等長写像のため未解決のままである。