[論文レビュー] Continuity of the Lyapunov exponent for quasiperiodic operators with analytic potential

Jean Bourgain, Svetlana Jitomirskaya|ArXiv.org|Oct 31, 2001

Spectral Theory in Mathematical PhysicsMathematics参考文献 10被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、解析的ポテンシャルを有する1次元準周期的シュレーディンガー作用素について、エネルギーEおよび無理数ωを含む(E, ω)において、リャプノフ指数の連続性を確立する。大偏差推定とアバランチ・プリンシプルを用いて、リャプノフ指数近似の一様収束を証明し、準周期的系のスペクトル理論における長年の正則性の問題を解消する。

ABSTRACT

We study regularity properties of the Lyapunov exponent L of quasiperiodic operators with analytic potential, under no assumptions on the Diophantine class of the frequency. We prove that L is jointly continuous, in frequency and energy, at every irrational frequency.

研究の動機と目的

• 1次元準周期的作用素に実解析的ポテンシャルを有する場合のリャプノフ指数L(E, ω)の連続性を確立すること。
• L(E) > 0 の場合にL(E, ω)がEに関して連続であるかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 無理数周波数において(E, ω)における連続性を証明すること。ただし、有理数点におけるωに関する既知の不連続性にもかかわらず。
• 非摂動的解析および力学的局在化に不可欠な、転送行列ノルムに関する一様推定を提供すること。

提案手法

• 転送行列の成長に関する大偏差定理（補題4）を導出し、典型的なリャプノフ指数からのずれがqに関して指数的に小さくなることを示す。
• 適切な双曲性および相関条件の下で、SL2(R)行列の積の対数ノルムを制御するためにアバランチ・プリンシプルを適用する。
• 周波数ωの近似列{qs}、{Ns}を構成し、誤差項の指数的減衰を保証する再帰的不等式を満たす。
• アバランチ・プリンシプルと大偏差推定を用いて、差|L(E) + LN0(E) - 2L2N0(E)|がe^{-cκ q}で抑えられることを示し、一様近似が可能となる。
• サブハーモニック性およびコンパクトネスの議論を用いて、Eα → E となる列におけるL(E)の収束を制御する。
• 近似列における一様有界性を用いて、両変数Eとωの同時依存性を制御し、(E, ω)における連続性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的ポテンシャルを有する準周期的作用素について、リャプノフ指数L(E, ω)はエネルギーEに関して連続か？
• RQ2 無理数周波数ωにおいて、リャプノフ指数L(E, ω)は(E, ω)において jointly 連続か？
• RQ3 コンパクト集合上でxやEに依存しない、転送行列の成長に関する一様推定を確立できるか？
• RQ4 ポテンシャルが解析的で周波数がリウヴィル数であっても、L(E, ω)の連続性は成立するか？
• RQ5 大偏差推定の一様性を活用することで、ディオファントス周波数を超える範囲にまで力学的局在化の結果を拡張できるか？

主な発見

• リャプノフ指数L(E, ω)は、すべてのEおよびすべての解析的ポテンシャルvについてEに関して連続である。
• 任意の無理数ω0に対して、リャプノフ指数L(E, ω)は(E, ω0)において(E, ω)で jointly 連続である。
• 任意のコンパクト集合内のすべてのEおよび有理数近似a/qに近いすべてのωに対して、推定式|L(E) + LN0(E) - 2L2N0(E)| < e^{-cκ q}が一様に成り立つ。
• 一様有界性(1.4)が成り立つ：lim sup_{N→∞} (1/N) log ||MN(E, x, ω)|| ≤ L(E) は、コンパクト集合上のすべてのxおよびEに関して一様に成り立つ。
• この結果は、すべてのλ > 2およびすべての無理数ωに対して、ほぼマチュー作用素における強い力学的局在化を示唆する。強いディオファントス条件は必要としない。
• 連続性結果は鋭い：L(E, ω)はすべての有理数ωにおいてωに関して不連続になり得るが、すべての無理数周波数において連続である。