[論文レビュー] Counting Irreducible Double Occurrence Words

J. C. Burns, Tilahun Muche|arXiv (Cornell University)|May 15, 2011

semigroups and automata theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、n文字のアルファベット上における各文字が正確に2回ずつ現れる、非可約、強く非可約、および回文的二重出現語の総数を統一的な組合せ的枠組みで提示する。再帰的分解と対称性解析を用いて、閉形式の式と新しい整数列が導かれる。特に、OEISに以前未掲載であった非可約回文語の新たな数え上げが得られる。

ABSTRACT

A double occurrence word $w$ over a finite alphabet $Σ$ is a word in which each alphabet letter appears exactly twice. Such words arise naturally in the study of topology, graph theory, and combinatorics. Recently, double occurrence words have been used for studying DNA recombination events. We develop formulas for counting and enumerating several elementary classes of double occurrence words such as palindromic, irreducible, and strongly-irreducible words.

研究の動機と目的

• 非可約性および回文的構造に基づいて二重出現語を体系的に分類・列挙すること。
• 二重出現語から得られる非同型の図形の数え上げという組合せ的課題を、対称性と反転同値性を用いて解くこと。
• 再帰的分解を用いて強く非可約二重出現語の新しい特徴付けを確立すること。
• 非可約回文的語の以前未掲載の整数列を特定・計算すること。
• トポロジー、グラフ理論、およびDNA再結合から得られる分散した数え上げ結果を、一つの整合的な枠組みに統合すること。

提案手法

• 二重出現語を、n種の異なる文字がそれぞれ正確に2回ずつ現れる長さ2nの語として定義する。
• 上昇順リラベル化を用いて語を正規化し、同型性の同値類を定義することで、リラベル化に対して一意性を保証する。
• 語がその逆転語と同値である場合に限り、回文的と分類する。そうでない場合は非回文的と分類する。
• 非同型の図形の総数を |Total Diagrams| = (二重出現語の数 + 回文語の数)/2 という公式を用いて数える。
• 再帰的分解を用いて、より大きな非可約語を小さな語から構築し、マクロ核遺伝子配置におけるポインタ列を分析する。
• ホモモルフィズムを介してミクラノ核遺伝子配置を二重出現語に写像し、実現可能な語を特定し、非実現可能なケースを検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約および強く非可約二重出現語を体系的に列挙するにはどうすればよいか？
• RQ2 回文的二重出現語の正確な数は何か？ そして、全語数との関係は？
• RQ3 どの二重出現語が原生動物のミクラノ核遺伝子配置に対応するか？
• RQ4 二重出現語から得られる非同型の図形を数えるための統一的な組合せ的枠組みを開発できるか？
• RQ5 非可約回文的二重出現語を数えることによって新たに得られる整数列は何か？ そして、これらは新規であるか？

主な発見

• 長さ2nの非可約二重出現語の数は、数列A000698で与えられ、n = 1から6までの値は1, 2, 10, 74, 706, 8162である。
• 長さ2nの強く非可約二重出現語の数は、数列A000699で与えられ、n = 1から6までの値は1, 1, 4, 27, 248, 2830である。
• 非可約回文的二重出現語の数え上げは、以前OEISに掲載されていなかった新しい整数列を形成しており、新規な貢献を示している。
• 二重出現語から得られる非同型の図形の総数は、(全二重出現語数 + 回文語数)/2 で与えられ、効率的な列挙を可能にする。
• 非実現可能な二重出現語の最短例は11233244であり、ミクラノ核遺伝子配置からの実現可能語生成の境界を確認する。
• ホモモルフィズム ϱ はミクラノ核遺伝子配置を二重出現語に写像し、実現可能な語は原生動物DNA再結合における有効なポインタ列に対応する。