[論文レビュー] Customer Equilibrium and Optimal Strategies in an M/M/1 Queue with Dynamic Service Control

Yiannis Dimitrakopoulos, Apostolos Burnetas|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、混雑度がしきい値を超えるとサービスレートが上昇する動的サービス制御を施した観察不能な M/M/1 キューにおける顧客の均衡戦略を研究する。正の外部性と負の外部性の併存により、複数の均衡が存在しうることを示し、社会的最適到着レートが常に任意の均衡レート以下であることを証明する。パラメータの変動によっては、最大3つの均衡が存在しうる。

ABSTRACT

We consider the problem of customer equilibrium strategies in an M/M/1 queue under dynamic service control. The service rate switches between a low and a high value depending on system congestion. Arriving customers do not observe the system state at the moment of arrival. We show that due to service rate variation, the customer equilibrium strategy is not generally unique, and derive an upper bound on the number of possible equilibria. For the problem of social welfare optimization, we numerically analyze the relationship between the optimal arrival rate, which maximizes the overall welfare of the customers, and the equilibrium ones as a function of various parameter values. We finally derive analytic solutions for the special case where the service rate switch occurs when the queue ceases to be empty.

研究の動機と目的

• 混雑度に応じてサービスレートが低レートと高レートの間で切り替わる M/M/1 キューにおける顧客の均衡戦略を、部分的情報下で分析すること。
• 動的サービス制御が顧客均衡の存在および一意性に与える影響を調査すること。
• 同じポリシー下で、自己利益志向の顧客行動が生じる均衡到着レートと社会的最適到着レートを比較すること。
• 「群衆に従う」または「群衆を避ける」行動を引き起こす要因となる、正の外部性と負の外部性の支配的条件を特定すること。

提案手法

• 閾値に基づくサービスレートポリシーを採用する M/M/1 キューをモデル化：キュー長 ≤ T の場合は低レート、> T の場合は高レート。
• 顧客は到着時にシステム状態を観察できないが、サービスポリシーを把握しているため、観察不能な均衡分析を実施。
• 到着レート λ の関数として期待待ち時間をおよび社会的福祉関数を導出。これには二段階のサービスレートダイナミクスを組み込む。
• 確率過程の分析と均衡特徴付けを用いて、複数の均衡が生じる条件を同定。最大3つの均衡が存在しうる。
• 数値的分析と解析的証明を併用し、パラメータ領域全体にわたる最適および均衡到着レートの比較を実施。
• 社会的福祉関数が特定の領域で狭義の凹関数であることを確立し、最適戦略の一意性および最適戦略と均衡戦略の比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的サービス制御ポリシーが、観察不能な M/M/1 キューにおいて、顧客の複数の均衡を生じさせる条件は何か？
• RQ2 サービスレートが混雑度に依存する状況で、正の外部性と負の外部性がどのように作用し合い、顧客の到着行動に影響を与えるか？
• RQ3 社会的最適到着レートと、自己利益志向の顧客行動によって生じる均衡到着レートとの関係は何か？
• RQ4 社会的最適到着レートが、すべての均衡到着レート以下となることはあり得るか？ その条件はどのようなパラメータ範囲で成立するか？

主な発見

• 顧客の均衡戦略は一般に一意的ではない。正の外部性と負の外部性の相互作用により、最大3つの異なる均衡が存在しうる。
• 低レート μₗ > 1/2 の場合、社会的福祉関数は狭義の凹関数となり、一意の最適到着レート λ* が保証される。
• μₗ ≤ 1/R の場合、唯一の均衡は λᵉ = 0 であり、最適レート λ* も 0 であるため、λ* ≤ λᵉ は自明に成立する。
• μₗ < 1/2 の場合、特に μₗ = 1 - R/4 のとき、社会的福祉関数は (λ₀ᵉ, 1) で単調減少かつ凹関数であり、λ* ≤ λ₀ᵉ が成立する。
• 1 - R/4 < μₗ < 1/2 の場合、社会的福祉関数は (λ₁ᵉ, 1) で単調減少かつ凹関数であり、安定した正の均衡に対して λ* ≤ λ₁ᵉ が成立する。
• すべてのパラメータ領域において、社会的最適到着レート λ* は、任意の正の均衡到着レート λᵉ 以下である。これは、自己利益志向の行動が社会的最適性に比べて過剰な到着を引き起こすことを示している。