[論文レビュー] Deformations of Lagrangian $NQ$-submanifolds

Miquel Cueca, Jonas Schnitzer|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2023

Homotopy and Cohomology in Algebraic TopologyMathematics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ atsym$-次数付きシンプレクティック $Q$-多様体におけるラグランジュ $Q$-部分多様体の変形理論を確立し、graded バージョンのダーボウおよびワインシュタインのチューブ近傍定理を証明することで、$L_{inity}$-代数を構成し、変形を制御する。この $L_{inity}$-代数はチューブ近傍の選び方に依存しないことを示し、ゲージ同値関係の幾何的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

In this paper we prove graded versions of the Darboux Theorem and Weinstein's Lagrangian tubular neighbourhood Theorem in order to study the deformation theory of Lagrangian $NQ$-submanifolds of degree $n$ symplectic $NQ$-manifolds. Using Weinstein's Lagrangian tubular neighbourhood Theorem, we attach to every Lagrangian $NQ$-submanifold an $L_\infty$-algebra, which controls its deformation theory. The main examples are coisotropic submanifolds of Poisson manifolds and (higher) Dirac structures with support in (higher) Courant algebroids.

研究の動機と目的

• $ atsym$-次数付きシンプレクティック $Q$-多様体におけるラグランジュ $Q$-部分多様体の厳密な変形理論の構築。
• 古典的定理（ダーボウおよびワインシュタインのチューブ近傍定理）を次数付き設定に一般化すること。
• このような部分多様体の形式的変形問題を支配する $L_{inity}$-代数の構成。
• 異なるチューブ近傍の選択に対しても $L_{inity}$-代数が同型であることを示すこと。
• 変形モジュライ空間におけるゲージ同値関係の幾何的解釈の提供。

提案手法

• ラグランジュ $Q$-部分多様体の近傍における $ atsym$-次数付き $Q$-多様体のシンプレクティック構造を局所的にモデル化するための次数付きダーボウ定理の証明。
• ワインシュタインのチューブ近傍定理の次数付き版を確立し、ラグランジュ $Q$-部分多様体の近傍が、シフトされた余接 bundle のモデル近傍と $Q$-シンプレクティック同型であることを示す。
• チューブ近傍の正規バンドルデータから、導来括弧構成を用いて $L_{inity}$-代数を構成する。
• ヴォロノフの導来括弧形式的を用いて、正規バンドルの切断の空間に $L_{inity}$-構造を定義し、曲率を $Q$-作用によって決定する。
• ゲージに類似した流れによって誘導される $L_{inity}$-同型写像を用いて、異なるチューブ近傍が同型な $L_{inity}$-代数を与えることを示す。
• Maurer-Cartan 要素上のゲージ作用を、正規バンドルの次数 0 の切断に関連するハミルトニアンベクトル場によって生成される流れとして幾何的に特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ atsym$-次数付きシンプレクティック $Q$-多様体の設定において、ワインシュタインのチューブ近傍定理はどのように一般化できるか？
• RQ2 この次数付き文脈において、ラグランジュ $Q$-部分多様体の変形問題を支配する $L_{inity}$-代数構造は何か？
• RQ3 $L_{inity}$-代数はチューブ近傍の選び方に依存するか？
• RQ4 変形モジュライ空間におけるゲージ同値関係の幾何的意味は何か？
• RQ5 コイサイロトロピック部分多様体やディラック構造といった古典的幾何的構造は、ラグランジュ $Q$-部分多様体の特別な場合としてどのように現れるか？

主な発見

• シフトされた余接 bundle $T^*[1] u o u$ 内のモデル近傍と $Q$-シンプレクティック同型であるような、ラグランジュ $Q$-部分多様体の近傍が存在することを示す、ワインシュタインのチューブ近傍定理の次数付き版が証明された。
• 導来括弧構成を用いて正規バンドルから構成された $L_{inity}$-代数は、形式的変形問題を制御する。
• 異なる2つのチューブ近傍が同型な $L_{inity}$-代数を与えることから、変形理論がモデルの選び方に依存しないことが示された。
• Maurer-Cartan 要素上のゲージ作用は、正規バンドルの次数 0 の切断に関連するハミルトニアンベクトル場によって生成される流れとして幾何的に特徴付けられた。
• この構成は、既知の変形理論を回復する：ポisson多様体のコイサイロトロピック部分多様体およびコルント・アレブロイド内のディラック構造は、ラグランジュ $Q$-部分多様体の特別な場合として得られる。
• $L_{inity}$-代数構造は、$V$-代数上の導来括弧構成によって、曲率が $Q$-作用によって決定される曲がった $L_{inity}$-代数から生じる。