[論文レビュー] Derived Differentiable Manifolds

Kai Behrend, Hsuan-Yi Liao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 58被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、曲がった$L_{\infty}[1]$-代数のバンドルを用いて微分幾何学の導来的展開を構築し、ホモトピー的ファイバープロダクトと導来的交差を可能にするために、導来多様体をファイブレーション的対象の圏として確立する。パス空間とホモトピー移行を用いて対角の有限次元因子分解を構成し、逆関数定理を証明するとともに、導来幾何における弱同値と準同型の関係を明確にする。

ABSTRACT

We develop the theory of derived differential geometry in terms of bundles of curved $L_\infty[1]$-algebras, i.e. dg manifolds of positive amplitudes. We prove the category of derived manifolds is a category of fibrant objects. Therefore, we can make sense of "homotopy fibered product" and "derived intersection" of submaifolds in a smooth manifold in the homotopy category of derived manifolds. We construct a factorization of the diagonal using path spaces. First we construct an infinite-dimensional factorization using actual path spaces motivated by the AKSZ construction, then we cut down to finite dimensions using the Fiorenza-Manetti method. The main ingredient is the homotopy transfer theorem for curved $L_\infty[1]$-algebras. We also prove the inverse function theorem for derived manifolds, and investigate the relationship between weak equivalence and quasi-isomorphism for derived manifolds.

研究の動機と目的

• 曲がった$L_{\infty}[1]$-代数のバンドルを用いて導来微分幾何学の枠組みを構築すること。
• ホモトピー論的構成を可能にするために、導来多様体をファイブレーション的対象の圏として確立すること。
• パス空間とホモトピー移行を用いて、対角の有限次元因子分解を構成すること。
• 導来的設定における逆関数定理を証明し、弱同値と準同型の間の関係を明確にすること。
• 滑らかな多様体における部分多様体の導来的交差をホモトピー的ファイバープロダクトとして幾何的に実現すること。

提案手法

• 導来多様体を三つ組$(M, L, \lambda)$としてモデル化し、$M$は$C^\infty$-多様体、$L$は順位付きベクトルバンドル、$\lambda$は各ファイバー上で曲がった$L_{\infty}[1]$-代数構造を定義する。
• 無限次元パス空間構成を有限次元に還元するために、曲がった$L_{\infty}[1]$-代数のホモトピー移行定理を用いる。
• 実際のパス空間を用いて導来パス空間を構成し、その後フィオレーナ＝マネッティ法を適用して有限次元に切断する。
• パス空間因子分解の動機としてAKSZ構成を用い、シフトされた接バンドルのパス空間上にホモロジー的ベクトル場を導く。
• 導来多様体のホモトピー圏におけるホモトピー的ファイバープロダクトとして、部分多様体の導来的交差を定義する。
• 標準的ベクトル場$\tau$とホモロジー的ベクトル場$PQ$の相互作用を用いて、パス空間の接バンドル上にdg構造を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的微分幾何学において、ファイバープロダクトがしばしば存在しない中で、部分多様体の導来的交差をどのように意味的に定義できるか？
• RQ2 パス空間は、導来幾何における対角の因子分解を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 無限次元パス空間構成をホモトピー的構造を保ちつつ、有限次元モデルに還元するにはどうすればよいか？
• RQ4 導来多様体の圏における弱同値と準同型の正確な関係は何か？
• RQ5 逆関数定理はどの程度導来的設定で成り立ち、導来多様体のホモトピー論とどのように関係するか？

主な発見

• 導来多様体の圏はファイブレーション的対象の圏であり、ホモトピー的ファイバープロダクトと導来的交差をホモトピー圏で構成可能である。
• フィオレーナ＝マネッティ法とホモトピー移行を用いて、パス空間と導来パス空間を介した対角の有限次元因子分解が構成された。
• 導来多様体のパス空間には自然なdg構造が備わっており、$T(P{\mathscr{M}})[-1]$にホモロジー的ベクトル場$\iota_\tau + \widehat{PQ}[-1]$として実現される。ここで$\tau$は標準的ベクトル場である。
• 逆関数定理は導来多様体において成り立ち、古典的結果をホモトピー的設定に一般化する。
• 導来多様体における弱同値は、対応する$L_{\infty}[1]$-代数の準同型と一致する。これはホモトピー論とコhomology代数の間の重要な接続を確立する。
• 任意のパス$a: I \to M$に対して、$\Gamma(I, a^*T{\mathscr{M}}[-1])$は$a'\,dt + a^*\mu$によって誘導される曲がった$L_{\infty}[1]$-構造を備え、命題2.5の構造と一致する。