[論文レビュー] Desperately seeking mathematical truth

Melvyn B. Nathanson|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2008

Philosophy and Theoretical SciencePsychology被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、数学的真実の確実性という認識を批判し、ワイルズ や ペレルマン のような著名な定理が、完全に検証された1行ずつの証明を持たないことを指摘する。代わりに、それらの定理の受け入れは、数学的エリートの間での政治的合意に基づいている。これは、数学文献が論理的厳密性を謳う一方で、根本的に信頼できないものであることを示している。

ABSTRACT

This article discusses epistemological problems in the philosophy of mathematics and issues concerning the reliability of the mathematical literature.

研究の動機と目的

• 数学的定理が、検証可能で厳密な証明によって普遍的かつ永遠に真であるという広く信じられている信念に反論すること。
• 数学の同人レビューにおけるシステム的欠陥を暴露し、線形的検証ではなく専門家の意見に依存する構造を明らかにすること。
• フェルマーの最終定理 や ポアンカレ予想 のような画期的な証明が、完全な検証を欠き、コミュニティの合意に依存していることを説明すること。
• 証明の不完全性、検証されていない参照、不適切な査読プロセスにより、数学文献が信頼できないものであると主張すること。
• 数学的真実の政治的性質を強調し、『分野のボス』が正しさを決定するのではなく論理的完全性ではないことを示すこと。

提案手法

• ワイルズのフェルマーの最終定理 の証明 や ペレルマン のポアンカレ予想 の証明 を含む、歴史的・現代的な数学的証明を分析し、検証ではなく合意に依存していることを示す。
• 有限単純群の分類 を、完全な証明が普遍的に受け入れられていないにもかかわらず数十年にわたる作業の結果である事例として検討する。
• 数学雑誌における査読プロセスを検討し、大多数の論文が深くチェックされておらず、査読者が証明をほとんどスキャンするにとどまっていると主張する。
• 数学的証明の理想（公理からの論理的導出）と、現実の不完全で概要的、あるいは直感的な議論が『真』として受け入れられる状況の対比を示す。
• 微積分の歴史的発展 や インディクスの原論 を用いて、基礎的な数学でさえも、初期発表から長年にわたり論理的ギャップを含んでいたことを示す。
• 定理の真偽は論理的完全性ではなく、少数の専門家による社会的承認に依存するため、数学的真実は政治的構造であると主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ、完全に検証された1行ずつの証明を持たないにもかかわらず、数学者たちはフェルマーの最終定理 や ワイルズの証明 のような主要な定理を真であると受け入れるのか？
• RQ2 不完全な証明や検証されていない参照が広く存在する状況において、数学文献の信頼性はどの程度実際のものなのか？
• RQ3 数学雑誌における査読プロセスは、出版された結果の正しさを保証するためにどのように失敗しているのか？
• RQ4 ワイルズ や ペレルマン のような画期的な証明が、その重要性にもかかわらず何年もかかって承認されたのはなぜか？
• RQ5 数学的真実の概念が、論理的完全性ではなく社会的合意に依存するという点で、どのような形で現れるのか？

主な発見

• ワイルズ や ペレルマン のような著名な数学的定理は、完全に検証されていない。それらの正しさは、線形的証明検証ではなく、専門家の合意に依存している。
• 有限単純群の分類 は、まだ完全な証明が普遍的に受け入れられておらず、多くの文献に記された結果は未だに検証不能な主張と見なされている。
• 査読付き数学雑誌に掲載された論文の多くは、実際には深く査読されていない。査読者はしばしば主張の確認のみを行い、証明はほとんどスキャンするにとどまる。その結果、誤りや不完全な議論が広く受け入れられている。
• ユークリッドの原論 でさえも、千年以上にわたり修正されなかった論理的ギャップを含んでおり、数学的推論における長年の欠陥を示している。
• 微積分の歴史は、主要な数学分野が、その基礎が厳密に確立されるまで150年間も使用・発展されてきたことを示しており、数学的真実が証明に先立つのではなく、むしろそれに従うことがあることを示している。
• 数学的真実は純粋な論理的ものではなく、政治的である。正しさの判断は、客観的検証ではなく、分野内の影響力を持つ専門家（『ボス』）によって決定される。