[論文レビュー] Detecting effectivity of motives, their weights, connectivity, and dimension via Chow-weight (co)homology: a "mixed motivic decomposition of the diagonal"

Mikhail V. Bondarko, Vladimir Sosnilo|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有効な Voevodsky のモチーフに対して、一般化された「混合モチービック対角分解」を用いて、モチーフの効果性、重み、連結性、次元を検出できる新しいチャウ・ウェイト（余）ホモロジー理論を導入する。この理論により、モチーフが r-効果的であることと、そのチャウ・ウェイトホモロジーが r より小さい次数で消えることとは同値であることが示され、高次のモチービックホモロジーにおける torsion の指数が有限であることも証明される。これは、古典的な対角分解の結果を任意の代数的多様体およびコホモロジー理論へと拡張するものである。

ABSTRACT

We describe certain criteria for a motif $M$ to be $r$-effective, i.e., to belong to the $r$th Tate twist $Obj DM^{eff}_{gm,R}(r)=Obj DM^{eff}_{gm,R} \otimes L^{\otimes r}$ of effective Voevodsky motives (for $r\ge 1$; $R$ is the coefficient ring). In particular, $M$ is 1-effective if and only if a complex whose terms are certain Chow groups of zero-cycles is acyclic. The dual to this statement checks whether an effective motif $M$ belongs to the subcategory of $DM^{eff}_{gm,R}$ generated by motives of varieties of dimension $\le r$. These criteria are formulated in terms of the Chow-weight (co)homology of $M$. These (co)homology theories are introduced in the current paper and have several (other) remarkable properties: they yield a bound on the "weights" of $M$ (in the sense of the Chow weight structure defined by the first author) and detect the effectivity of "the lower weight pieces" of $M$. We also calculate the "connectivity" of $M$ (in the sense of Voevodsky's homotopy t-structure) and prove that the exponents of the higher motivic homology groups (of an "integral" motif) are bounded whenever these groups are torsion. These motivic properties of $M$ have important consequences for its cohomology. As a corollary, we prove that if Chow groups of an arbitrary variety $X$ vanish up to dimension $r-1$ then the highest Deligne weight factors of the (singular or étale) cohomology of $X$ with compact support are $r$-effective in the naturally defined sense. Our results yield a vast generalization of the so-called "decomposition of the diagonal" statements.

研究の動機と目的

• 体上の有効幾何モチーブのカテゴリ $ DM^{eff}_{gm,R} $ に対して、係数が環 R である新しいチャウ・ウェイト（余）ホモロジー理論を構築すること。
• モチーフ M が r-効果的であるかどうか、すなわち有効モチーブのカテゴリの r 番目のテートタワーモジュライに属するかどうかを検出すること。
• チャウ・ウェイト構造におけるモチーフ M の重みを評価し、低次の重み成分の効果性を検出すること。
• これらのホモロジー不変量をモチービックホモロジー、コンパクト台付きコホモロジー、およびモチービックスペクトラの性質と関連付けること。
• 古典的な「対角分解」の結果を、任意の多様体およびコホモロジー理論（特異コホモロジーやエタールコホモロジーを含む）へと一般化すること。

提案手法

• 重み構造と重み複体を用いて、カテゴリ $ DM^{eff}_{gm,R} $ 上に新しいチャウ・ウェイト（余）ホモロジー理論を定義する。
• 重みスペクトル系列および重み複体の技法を用いて、チャウ・ウェイトホモロジーとモチーフの効果性および重みフィルトレーションとの関係を確立する。
• ポincare双対性を用いて、ホモロジーにおける効果性条件をコホモロジー的条件に翻訳する。
• [Bon18a]、[Bon19]、[BoS18c] における重み複体に関する局所化法および結果を用いて、次元および効果性の上限を分析する。
• 基底変換および双有理写像におけるチャウ・ウェイトホモロジーの振る舞いを調べ、滑らかな基底の場合には双有理不変であることを示す。
• 重みフィルトレーションの構造と予想されるモチービックコホモロジーを用いて、高次のモチービックホモロジーにおける torsion の指数を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モチーフ M が $ DM^{eff}_{gm,R} $ において r-効果的であるとはいつか？ そして、チャウ・ウェイトホモロジーを用いてどのように検出できるか？
• RQ2 チャウ・ウェイト構造におけるモチーフ M の重みは、そのチャウ・ウェイトホモロジーの消える性質とどのように関係するか？
• RQ3 モチーフ M の低次の重み成分の効果性と、そのチャウ・ウェイトホモロジーが負の次数で消えることの関係は何か？
• RQ4 整数的モチーフの高次のモチービックホモロジー群における torsion の指数は、どのように振る舞うか？
• RQ5 この新しいホモロジー理論を用いて、古典的な「対角分解」をどれほど一般化できるか？

主な発見

• モチーフ M が r-効果的であることと、そのチャウ・ウェイトホモロジーがすべて r より小さい次数で消えることは同値であり、効果性のホモロジー的特徴づけが得られる。
• 整数的モチーブの高次のモチービックホモロジー群における torsion は有限の指数を持つ。これは重みフィルトレーションと双対性を用いて証明された。
• 多様体 X のチャウ群が次元 r−1 まで消えるならば、そのコンパクト台付きコホモロジーにおける最高のデリーニュ重み因子は r-効果的である。
• モチービック予想 A および B の下で、特異コホモロジーにおいて逆も成り立ち、効果性のコホモロジー的特徴づけが得られる。
• モチーブのチャウ・ウェイトホモロジーは、ヴォエヴォズキーのホモトピー t-構造における連結性を検出する。負の次数での消えることは、非負の重みを意味しない。
• 反例により、チャウ・ウェイトホモロジーは重みの上界を検出できないことが示されるが、予想のもとでは特異ホモロジーの重みフィルトレーションはそのような上界を検出可能である。