[論文レビュー] Double affine Grassmannians and Coulomb branches of 3d N=4 quiver gauge theories

Michael Finkelberg|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元 $\mathcal{N}=4$ クーリーク・ゲージ理論のクーロン枝を用いて、二重アフィングラスマンジャンのスライスを予想的な方法で構成し、アフィンおよび二重アフィン設定への幾何的サタケ同型の一般化を提案する。同定は、等置不変ホモロジーと畳み込み代数を用いて、これらの幾何的スライスと量子トロイダル代数の表現との間の対応を確立する。

ABSTRACT

We propose a conjectural construction of various slices for double affine Grassmannians as Coulomb branches of 3-dimensional N=4 supersymmetric affine quiver gauge theories. It generalizes the known construction for the usual affine Grassmannian, and makes sense for arbitrary symmetric Kac-Moody algebras.

研究の動機と目的

• 二重アフィングラスマンジャンへの幾何的サタケ同型の拡張を、物理的および幾何的手段を用いてその横断的スライスを構成することによって行う。
• ウーレンベックコンパクト化によるアフィングラスマンジャンのスライスの既知の構成を、二重アフィンの場合に一般化する。
• 特定のゲージ理論的方程式の解のモジュライ空間として、3次元 $\nmathcal{N}=4$ クーリーク・ゲージ理論のクーロン枝の数学的実現を提供する。
• 等置不変ホモロジー上の畳み込み代数を介して、これらのクーロン枝と量子トロイダル代数の表現とを関連付ける。
• ループ設定におけるイワホリ型フラッグ構造と順序付き格子を用いた、二重アフィングラスマンジャンにおけるスライスの構成フレームワークを確立する。

提案手法

• 3次元 $\nmathcal{N}=4$ クーリーク・ゲージ理論のクーロン枝構成（中島による）を用い、モーメント写像方程式の解のモジュライ空間を定義する。
• $G_{\nmathcal{K}}$-軌道がイワホリフラッグを保存するような三重の集合 ${\nmathcal{R}}_{{\nmathbf{j}},{\nmathbf{j}}'}$ の多様体に等置不変ボレル＝モアリー・ホモロジーを適用する。
• これらの多様体のホモロジーから、${\nmathcal{H}}_V = \bigoplus_{{\nmathbf{j}},{\nmathbf{j}}'\to{\nmathbf{J}}(V)} {\nmathcal{H}}_{{\nmathbf{j}}',{\nmathbf{j}}}$ と表される畳み込み代数を構成する。
• $V_{\nmathcal{K}}$ におけるフラッグ構造を用いて、イワホリ部分群 ${\nmathsf{I}}_{\nmathbf{j}}$ とヒッグス場の空間の部分モジュール ${\nmathbf{N}}_{\nmathbf{j}}$ を定義する。
• 列の連結を介して、${\nmathcal{H}}_V \to U_Q^{++}$、すなわち量子トロイダル代数の正の部分へのホモモーティズムを確立する。
• アフィンヤンギアンの余乗法を用いて、多様体間の写像の像の閉包を介して、二重アフィングラスマンジャンにおけるスライスの構造を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重アフィングラスマンジャンの層に沿った横断的スライスは、3次元 $\nmathcal{N}=4$ クーリーク・ゲージ理論のクーロン枝として実現可能か？
• RQ2 アフィンクーリーク理論におけるクーロン枝構成は、二重アフィン設定にどのように拡張可能か？
• RQ3 イワホリ部分群とフラッグ構造は、三重の多様体上の畳み込み代数を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 得られた畳み込み代数は、量子トロイダル代数の正の部分をどのようにカテゴリフィケーションするか？
• RQ5 クーロン枝と二重アフィングラスマンジャンにおける軌道の閉包との間の正確な幾何的対応関係は何か？

主な発見

• 3次元 $\nmathcal{N}=4$ クーリーク・ゲージ理論のクーロン枝は、二重アフィングラスマンジャンにおける横断的スライス $\noverline{\nmathcal{W}}{}_{\bar{\nu}}^{\bar{\nu}'}$ をモーメント写像方程式の解のモジュライ空間として実現すると予想される。
• 三重の多様体 ${\nmathcal{R}}_{{\nmathbf{j}},{\nmathbf{j}}'}$ の等置不変ボレル＝モアリー・ホモロジーからなる畳み込み代数 ${\nmathcal{H}}_V$ は、量子トロイダル代数の正の部分 $U_Q^{++}$ をカテゴリフィケーションする。
• 一般化されたサタケ関手による像として、二重アフィングラスマンジャンのスライス上のIC層を実現することにより、幾何的サタケ同型が二重アフィン設定へ一般化される。
• $\noverline{\nmathcal{W}}{}^{\bar{\nu}}_{{\nmathbf{\bar{\nu}}''}} \times \n{\nmathbf{\bar{\nu}}'} \to \noverline{\nmathcal{W}}{}^{\bar{\nu}}_{\bar{\nu}}$ という写像の像の閉包は、必要なスライス $\noverline{\nmathcal{W}}{}_{\bar{\nu}}^{\bar{\nu}'}$ を与える。
• $V_{\nmathcal{K}}$ のフラッグにおけるイワホリ型安定化子 ${\nmathsf{I}}_{\nmathbf{j}}$ は、格子フィルトレーションと整合性を持ち、関連するヒッグス場の部分多様体を定義する。
• ${\nmathcal{H}}_V \to U_Q^{++}$ へのホモモーティズムは、列 ${\nmathbf{j}}_1{\nmathbf{j}}_2$ の連結によって誘導され、代数構造が表現の直和を尊重することを示す。