[論文レビュー] Double Groupoids, Orbifolds, and the Symplectic Category

Santiago Cañez|arXiv (Cornell University)|May 13, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、シンプレクティック幾何における群コホイドの一般化としてのシンプレクティックホーフォイド——シンプレクティック圏における構造——を導入し、標準的関係を用いたシンプレクティック軌道体の構成におけるその役割を示している。シンプレクティック二重群コホイドのコアが、全空間のシンプレクティック削り込みによってシンプレクティック群コホイドであることを証明しており、すべてのシンプレクティック軌道体がこのような構成から生じるとの仮説を提示し、シンプレクティックスタックおよびその量子化を理解するための新しい枠組みを提供している。

ABSTRACT

Motivated by an attempt to better understand the notion of a symplectic stack, we introduce the notion of a symplectic hopfoid, which should be thought of as the analog of a groupoid in the so-called symplectic category. After reviewing some foundational material on canonical relations and this category, we show that symplectic hopfoids provide a characterization of symplectic double groupoids in these terms. Then, we show how such structures may be used to produce examples of symplectic orbifolds, and conjecture that all symplectic orbifolds arise via a similar construction. The symplectic structures on the orbifolds produced arise naturally from the use of canonical relations. The characterization of symplectic double groupoids mentioned above is made possible by an observation which provides various ways of realizing the core of a symplectic double groupoid as a symplectic quotient of the total space, and includes as a special case a result of Zakrzewski concerning Hopf algebra objects in the symplectic category. This point of view also leads to a new proof that the core of a symplectic double groupoid itself inherits the structure of a symplectic groupoid. Similar constructions work more generally for any double Lie groupoid---producing what we call a Lie hopfoid---and we describe the sense in which a version of the "cotangent functor" relates such hopfoid structures.

研究の動機と目的

• シンプレクティック圏と標準的関係を用いたシンプレクティックスタックの枠組みを構築すること。
• シンプレクティックコホイドとしてのシンプレクティックホーフォイドを、シンプレクティック圏における群コホイドの一般化として定義すること。
• シンプレクティックホーフォイドからシンプレクティック軌道体が構成可能であることを示し、すべてのこのような軌道体がこの方法で得られるとの仮説を提示すること。
• シンプレクティックホーフォイドの量子化を検討し、シンプレクティックスタックの幾何学的量子化への道筋を提供すること。
• シンプレクティック圏におけるリー・ホーフォイドが余接関手および一般化されたホーファルゲブライドとどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• シンプレクティック多様体間の標準的関係を射とするシンプレクティック圏を導入する。
• ホーファルゲブラ的対象としてのシンプレクティックホーフォイドを定義し、シンプレクティック群コホイドを一般化する。
• 全空間のシンプレクティック削り込みを用いて、シンプレクティック二重群コホイドのコアをシンプレクティック商として実現する。
• リー群コホイドに適用し、余接リフト $T^*G \rightrightarrows T^*M$ がシンプレクティックホーフォイドをなすことを示す。
• このようなホーフォイドの量子化が、標準的関係の幾何学的量子化を通じて量子群コホイド構造を生むことを示す。
• $L^2$-空間と積分写像を用いた量子化手続きを提案し、ホーファルゲブライドに類似した構造が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックスタックは、シンプレクティック圏内の構造を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 シンプレクティックホーフォイドは、シンプレクティック軌道体の構成において果たす役割は何か？
• RQ3 シンプレクティック二重群コホイドのコアは、どのようにシンプレクティック群コホイド構造を引き継ぐのか？
• RQ4 すべてのシンプレクティック軌道体が、シンプレクティックホーフォイドから生じる商として実現可能か？
• RQ5 シンプレクティックホーフォイドの幾何学的量子化からどのような代数的構造が生じるか？

主な発見

• シンプレクティック二重群コホイドのコアは、全空間のシンプレクティック削り込みによりシンプレクティック群コホイドであることが証明された。
• シンプレクティックホーフォイドは、標準的関係およびシンプレクティック商を用いてシンプレクティック二重群コホイドを特徴づける。
• この構成により、シンプレクティックホーフォイドから自然にシンプレクティック軌道体が得られ、すべてのシンプレクティック軌道体がこの方法で得られるとの仮説を支持する。
• 余接リフト $T^*G \rightrightarrows T^*M$ の量子化により、積分と畳み込み写像を介して $L^2(G) \rightrightarrows L^2(M)$ 上にホーファルゲブライド構造が得られる。
• 量子化プロセスは、シンプレクティックホーフォイドが量子群コホイド構造に量子化されることを示唆し、シンプレクティックスタックおよび余接スタックへの応用が期待される。
• この枠組みはリー・ホーフォイドへ一般化可能であり、標準的関係を通じて余接関手への提案された関係が成立する。