[論文レビュー] Dynamics of D-branes II. The standard action --- an analogue of the Polyakov action for (fundamental, stacked) D-branes

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、基本的ストリングのポリヤコフ作用の一般化として、D-braneの動的記述を非アーベルゲージ化されたシグマ模型として、基本的モジュールと接続を備えたアズマヤ／行列多様体上で定式化する、D-braneのための新しい標準作用を導入する。主な貢献は、第一および第二の変分を用いた運動方程式の導出であり、これはストリング理論におけるポリヤコフの手法に類似した、D-braneの量子化の基礎的枠組みを確立するものである。

ABSTRACT

We introduce a new action $S_{standard}^{(ρ,h; Φ,g,B,C)}$ for D-branes that is to D-branes as the Polyakov action is to fundamental strings. This `standard action' is abstractly a non-Abelian gauged sigma model --- based on maps $φ: (X^{\!A\!z},E; abla) ightarrow Y$ from an Azumaya/matrix manifold $X^{\!A\!z}$ with a fundamental module $E$ with a connection $ abla$ to $Y$ --- enhanced by the dilaton term, the gauge-theory term, and the Chern-Simons/Wess-Zumino term that couples $(φ, abla)$ to Ramond-Ramond field. In a special situation, this new theory merges the theory of harmonic maps and a gauge theory, with a nilpotent type fuzzy extension. With the analysis developed in D(13.1) (arXiv:1606.08529 [hep-th]) for such maps and an improved understanding of the hierarchy of various admissible conditions on the pairs $(φ, abla)$ beyond D(13.2.1) (arXiv:1611.09439 [hep-th]) and how they resolve the built-in obstruction to pull-push of covariant tensors under a map from a noncommutative manifold to a commutative manifold, we develop further in this note some covariant differential calculus needed and apply them to work out the first variation --- and hence the corresponding equations of motion for D-branes --- of the standard action and the second variation of the kinetic term for maps and the dilaton term in this action. Compared with the non-Abelian Dirac-Born-Infeld action constructed in D(13.1) along the same line, the current note brings the Nambu-Goto-string-to-Polyakov-string analogue to D-branes. The current bosonic setting is the first step toward the dynamics of fermionic D-branes (cf. D(11.2): arXiv:1412.0771 [hep-th]) and their quantization as fundamental dynamical objects, in parallel to what happened to the theory of fundamental strings during years 1976--1981.

研究の動機と目的

• 基本的ストリングのポリヤコフ作用に類似したD-braneの動的枠組みを構築すること。
• 非可換多様体から可換多様体への共変テンソルの引き戻しにおける障害を、写像および接続に関する改善された許容条件を用いて解消すること。
• ダイロン、ゲージ理論、およびチェーン＝シモンズ項を統合した標準作用を定式化し、調和写像とゲージ理論の構造を統一すること。
• 標準作用の第一および第二の変分を導出し、D-braneの運動方程式を導出すること。
• フェルミオン的D-braneの量子化およびボソン的場合を越えた理論の拡張のための基盤を築くこと。

提案手法

• アズマヤ／行列多様体 $(X^{ ext{Az}}, \tilde{E}; \nabla)$ 上に、基本的モジュールと接続を備えたD-braneの力学を定式化し、時空 $Y$ へ写像する。
• ダイロン、ゲージ理論、およびラムンド＝ラムンドのチェーン＝シモンズ項を含む、強化された非アーベルゲージ化シグマ模型としての標準作用 $S_{\text{standard}}^{(\rho,h;\rho,g,B,C)}$ を構築する。
• 非可換多様体上の共変微分法を用いて、非可換空間から可換空間への写像によるテンソルの引き戻しを処理する。
• 作用の第一変分を計算し、写像 $\rho$ および接続 $\nabla$ の運動方程式を導出する。
• 運動項およびダイロン項の第二変分を解析し、安定性および線形化された力学を研究する。
• 非可換幾何学における許容条件および調和写像に関する先行研究（arXiv:1606.08529, arXiv:1611.09439）の結果を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D-braneは基本的ストリングと比較してより豊かな内部構造を持つため、そのようなD-braneに類似したポリヤコフ作用をどのように構築できるか？
• RQ2 非可換D-braneの世界面から可換時空へテンソルを一貫して引き戻すために必要な幾何学的および解析的条件（許容条件）は何か？
• RQ3 標準作用の第一および第二の変分が、D-brane配置の運動方程式および線形化された力学をどのように得るか？
• RQ4 標準作用は、D-braneの文脈において調和写像理論と非アーベルゲージ理論をどのように統一するか？
• RQ5 ラムンド＝ラムンドのチェーン＝シモンズ項は、D-braneの接続および写像をバックグラウンド場にどのように結合するか？

主な発見

• 標準作用は、基本的モジュールと接続を備えたアズマヤ／行列多様体上で定式化された非アーベルゲージ化シグマ模型として定式化され、ダイロン、ゲージ理論、およびラムンド＝ラムンド項を含む。
• 作用の第一変分により、バックグラウンド場が存在する場合に一般化された調和写像およびヤン・ミルズ方程式を導く運動方程式が得られる。
• 運動項およびダイロン項の第二変分が計算され、運動方程式が満たされるとき、曲率項の積分が消えることが示された。
• 改善された許容条件を用いることで、非可換多様体から可換多様体への共変テンソルの引き戻しにおける内蔵された障害が解消された。
• この理論は、基本的ストリングのポリヤコフ作用の直接的な類似であり、より豊かな内部幾何を持つD-braneへと拡張された。
• この構成は、フェルミオン的D-braneの量子化およびD-braneの完全な量子論の発展のための基盤を築くものであり、1976年から1981年にかけてのストリング理論の歴史的発展に類似している。