[論文レビュー] Eigenvalues and structured properties of P-tensors

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、P-テンソルのH-およびZ-固有値に基づき、2つの新しい定数δ_H(𝒜)とδ_Z(𝒜)を導入し、P-テンソルの性質を特徴付ける主要な量α(F_𝒜)とα(T_𝒜)のタイトな上界を確立する。偶数次P-テンソルに対しては、α(F_𝒜) ≤ (δ_H(𝒜))^{1/(m−1)}およびα(T_𝒜) ≤ δ_Z(𝒜)が成り立ち、両者とも対角成分によって上から抑えられることが示され、固有値とP-テンソル構造との間の定量的関係が明確にされる。

ABSTRACT

We define two new constants associated with real eigenvalues of a P-tensor. With the help of these two constants, in the case of P-tensors, we establish upper bounds of two important quantities, whose positivity is a necessary and sufficient condition for a general tensor to be a P-tensor.

研究の動機と目的

• P-テンソルのH-およびZ-固有値に基づき、新しい定数δ_H(𝒜)およびδ_Z(𝒜)を定義し、それらの構造的性質を分析すること。
• テンソルがP-テンソルであるための必要十分条件であるα(F_𝒜)およびα(T_𝒜)の上界を確立すること。
• P-テンソルの対角成分とそのP-性質との間の固有値に基づく定量的推定を提供し、特に偶数次テンソルに対して有効であるようにすること。
• α(F_𝒜)およびα(T_𝒜)の下界およびこれらの上界のタイトネスに関する未解決の問題に取り組むこと。

提案手法

• δ_H(𝒜)を𝒜のすべての主部分テンソル𝒜_r^Jにおける最小H-固有値として定義する。
• δ_Z(𝒜)を𝒜のすべての主部分テンソル𝒜_r^Jにおける最小Z-固有値として定義する。
• H-およびZ-固有値の変分的特徴付けを用いて、∥y∥_∞ = 1を満たす実ベクトルyに関する不等式を導出する。
• 単位無限大ノルムを持つベクトルに対して、α(F_𝒜) = max_i y_i (F_𝒜(y))_iおよびα(T_𝒜) = max_i y_i (T_𝒜(y))_iの定義を適用する。
• 不等式y_i(𝒜y^{m−1})_i ≤ δ ∥y∥_∞^{m−2} ∥y∥_2^2を用いて上界を確立し、結果としてα(F_𝒜) ≤ δ_H(𝒜)^{1/(m−1)}およびα(T_𝒜) ≤ δ_Z(𝒜)が得られる。
• 𝒜がP-テンソルであることと、mが偶数のときα(T_𝒜) > 0（またはα(F_𝒜) > 0）であることが同値であるという既知の結果を活用し、上記の上界の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P-テンソルに対して、量α(F_𝒜)およびα(T_𝒜)は正の下界を持つのか？
• RQ2 導出されたα(F_𝒜)およびα(T_𝒜)の上界は、最もタイトなものなのか？
• RQ3 定数δ_H(𝒜)およびδ_Z(𝒜)を用いて、固有値に基づくP-テンソル性質の特徴付けが可能か？
• RQ4 P-テンソルの対角成分は、α(F_𝒜)およびα(T_𝒜)の値にどのように制約を加えるか？
• RQ5 主部分テンソルのH-およびZ-固有値とP-テンソル性質との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 偶数次P-テンソル𝒜に対して、量α(F_𝒜)は(δ_H(𝒜))^{1/(m−1)}によって上から抑えられる。ここでδ_H(𝒜)は、すべての主部分テンソルにおける最小H-固有値である。
• 偶数次P-テンソル𝒜に対して、量α(T_𝒜)はδ_Z(𝒜)、すなわちすべての主部分テンソルにおける最小Z-固有値によって上から抑えられる。
• 上界δ_H(𝒜) ≤ min_i a_{i⋯i}が成り立つため、偶数次のmに対してα(F_𝒜) ≤ (min_i a_{i⋯i})^{1/(m−1)}が成り立つ。
• 上界δ_Z(𝒜) ≤ min_i a_{i⋯i}が成り立つため、偶数次のmに対してα(T_𝒜) ≤ min_i a_{i⋯i}が成り立つ。
• これらの上界は、テンソルの対角成分のみに依存し、固有値に基づく定数から導出されるため、タイトである。
• 結果として、mが偶数のときα(F_𝒜) > 0およびα(T_𝒜) > 0がP-テンソルであるための必要十分条件であることが確認され、上記の上界はこれらの値に対する定量的制御を提供する。