[論文レビュー] Equations of Motion Formulation of a Pendulum Containing N-point Masses

Boran Yesilyurt|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2019

Aerospace Engineering and Control Systems参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ラグランジュ力学とベクトルに基づく導出を用いて、n 個の質点からなる振り子の運動方程式をコンactかつ一般化された形式で提示し、複雑な系においても効率的な計算を可能にする。主な貢献は、n → ∞ となる極限において、明確な条件下で系が重力補正を含む波動方程式から導かれる垂れ下がったロープの運動に収束することを示したことである。

ABSTRACT

This paper presents a general formulation of equations of motion of a pendulum with n point mass by use of two different methods. The first one is obtained by using Lagrange Mechanics and mathematical induction(inspection), and the second one is derived by defining a vector. Today, these equations can be obtained by employing numerous programs; however, this study gives a very compact form of these equations that is more efficient than solving Euler-Lagrange Equations for every pendulum with more complex structures than simple or double pendulum. Additionally, we investigate what will happen to our n-point mass system when we take limit as number of point masses goes infinity under well-defined assumptions. We find out that it converges to hanging rope system.

研究の動機と目的

• 各系に対して繰り返しオイラー＝ラグランジュ方程式を解くことなく、n 個の質点からなる振り子系の閉形式でスケーラブルな運動方程式を導出すること。
• 高次な振り子に対して標準的な数値手法の計算効率の悪い代替手段を提供すること。
• n 個の質点からなる系の連続体極限（n → ∞）を調査すること。
• 適切な仮定のもとで、n 個の質点からなる振り子系が、均一な質量密度を持つ垂れ下がったロープの既知の運動に収束することを示すこと。

提案手法

• 系の運動エネルギーおよびポテンシャルエネルギーの式に対して、数学的帰納法を用いたラグランジュ力学による導出。
• 各質点の位置および速度をベクトル表現を用いて定式化し、ラグランジアンを構築。
• 一般化座標 θj に対してオイラー＝ラグランジュ方程式を適用し、一般化された運動方程式を導出。
• 質量間の結合項を符号化するために、クロネッカーに類似した σjk 関数の使用。
• n→∞ における極限解析を行い、離散系を質量密度 μ を持つ連続的なロープとしてモデル化。
• 連続体波動方程式 ∂²x/∂t² = g(L−y)∂²x/∂y² − g∂x/∂y の導出により、垂れ下がったロープの運動への収束を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各系に対してオイラー＝ラグランジュ方程式を個別に解くことなく、n 個の質点からなる振り子の一般化された閉形式の運動方程式を導出可能か？
• RQ2 質点の数が無限大に近づくにつれて、系の挙動はどのように変化するか？
• RQ3 適切な仮定のもとで、n 個の質点からなる振り子系は、既知の垂れ下がったロープの運動に収束するか？
• RQ4 n→∞ における振り子系の連続体極限の運動方程式の形は何か？
• RQ5 重力項および結合項は、連続的ロープの波動方程式にどのように現れるか？

主な発見

• 任意の θj について、任意の n に対して有効な、コンactかつ一般化された運動方程式が導出された。
• 質量および長さパラメータを含む構造化された和集合を用いることで、すべての結合項を効率的に捉えることができた。
• 明確な仮定のもとで、n→∞ において系は波動方程式 ∂²x/∂t² = g(L−y)∂²x/∂y² − g∂x/∂y に収束した。
• 得られた連続体方程式は、均一な質量密度を持つ垂れ下がったロープの既知の運動方程式と一致した。
• 導出により、重力ポテンシャルおよび張力効果が連続体極限に内在的に組み込まれていることが確認され、∂x/∂y 項および (L−y) 項の出現が説明された。
• 変数分離により零次のベッセル方程式が得られ、連続体極限における系の振動モードがベッセル関数に従うことが確認された。