[論文レビュー] Estimating diagonal entries of powers of sparse symmetric matrices is BQP-complete

Dominik Janzing, Paweł Wocjan|ArXiv.org|Jun 27, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、スパースな対称行列のべき乗の対角成分を推定することはBQP完全であることを証明し、量子計算複雑性と行列解析の直接的な関連を確立している。この問題は位相推定と測定を用いて量子コンピュータ上で効率的に解ける。また、量子回路をスパースな行列に符号化することで、受理と拒否の結果を区別するスペクトルモーメントを有するBQPの全能力を捉えている。

ABSTRACT

Let A be a real symmetric matrix of size N such that the number of the non-zero entries in each row is polylogarithmic in N and the positions and the values of these entries are specified by an efficiently computable function. We consider the problem of estimating an arbitrary diagonal entry (A^m)_jj of the matrix A^m up to an error of εb^m, where b is an a priori given upper bound on the norm of A, m and εare polylogarithmic and inverse polylogarithmic in N, respectively. We show that this problem is BQP-complete. It can be solved efficiently on a quantum computer by repeatedly applying measurements of A to the jth basis vector and raising the outcome to the mth power. Conversely, every quantum circuit that solves a problem in BQP can be encoded into a sparse matrix such that some basis vector |j> corresponding to the input induces two different spectral measures depending on whether the input is accepted or not. These measures can be distinguished by estimating the mth statistical moment for some appropriately chosen m, i.e., by the jth diagonal entry of A^m. The problem is still in BQP when generalized to off-diagonal entries and it remains BQP-hard if A has only -1, 0, and 1 as entries.

研究の動機と目的

• スパースな対称行列を用いた自然な行列問題を通じて、BQPの複雑性クラスを特徴づけること。
• スパース性と精度制約の下で、行列のべき乗の対角成分の推定がBQPに属し、かつBQP困難であることを示すこと。
• 行列の成分が{−1, 0, 1}に制限された場合にもこの結果を一般化し、BQP完全性の結果の頑健性を示すこと。
• 量子計算とスパース行列のスペクトル測度の間の関係を確立し、BQPの計算能力について新たな視点を提供すること。

提案手法

• 基底状態|j⟩に作用するスパースな対称行列Aのスペクトル分布を測定するために、量子位相推定アルゴリズムを使用する。
• Aを|j⟩に繰り返し作用させ、結果のm乗を平均することで、スペクトル測度のm番目のモーメントを推定する。
• 入力が受理されるか拒否されるかに応じて、|j⟩のスペクトル測度が変化するように、BQP量子回路をスパースな対称行列Aに符号化する。
• 演算子ノルム≤1を保証するために、Aをユニタリ行列の実部として構築する。これにより、誤差スケーリングが有界になる。
• ToffoliゲートとHadamardゲートから構成される回路をスケーリングすることで、{−1, 0, 1}成分を持つAの制御的構築を行い、BQP困難性を保持する。
• mをM^3と選び、Mが十分に大きい場合、m番目のモーメント(A^m)_{jj}は受理された入力とされない入力で顕著に異なることを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースな対称行列のべき乗の対角成分の推定は、量子計算の全能力を捉えることができるか？
• RQ2 多項式対数スパース性と精度制約の下で、この行列推定問題は量子コンピュータ上で効率的に解けるか？
• RQ3 行列成分が{−1, 0, 1}に制限された場合でも、BQP完全性の結果は成立するか？
• RQ4 基底状態へのスパース行列の作用のスペクトルモーメントを用いて、任意のBQP決定問題をシミュレートできるか？
• RQ5 スパース行列の構造とそのスペクトルモーメント推定の複雑性の関係は何か？

主な発見

• スパース性と精度制約の下で、Aの演算子ノルムをbとすると、誤差εb^mの範囲で(A^m)_{jj}を推定する問題はBQP完全である。
• 繰り返し測定と位相推定を用いることで、量子コンピュータ上でこの推定を効率的に実行でき、スペクトル測度のm番目のモーメントを抽出できる。
• Aの成分が{−1, 0, 1}に制限されても、この問題は依然としてBQP困難である。これは、結果が成分値の制限に対して頑健であることを示している。
• 十分に大きなm = M^3に対して、入力が言語Lに属さない場合、(A^m)_{jj} > 1/(4M) であり、属する場合、(A^m)_{jj} < −1/(4M) である。これにより、しきい値処理によって決定が可能になる。
• 構築法により、|j⟩のスペクトル測度は量子回路の受理結果に依存し、対角成分が計算結果を符号化できる。