[論文レビュー] Exactly Solvable Lattice Hamiltonians and Gravitational Anomalies

Yu-An Chen, Po-Shen Hsin|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2021

Topological Materials and Phenomena参考文献 63被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、任意の時空次元における群コhomologyを超えた可逆的トポロジカル相のボソン系に対して、三角形分割または超立方体格子上の可換射投影ハミルトニアンを用いて、厳密に解ける格子ハミルトニアンの一般的構成を提示する。親となる群コhomology SPT相における1次および2次対称性の規約化により、重力的異常を有する(4+1)D $\bbZ_2$ 対称性を有する可逆的相が実現され、これは位数2の非自明な量子セルオートマトンおよびギャップのある対称的境界状態を含む。

ABSTRACT

We construct infinitely many new exactly solvable local commuting projector lattice Hamiltonian models for general bosonic beyond group cohomology invertible topological phases of order two and four in any spacetime dimensions, whose boundaries are characterized by gravitational anomalies. Examples include the beyond group cohomology invertible phase without symmetry in (4+1)D that has an anomalous boundary $\mathbb{Z}_2$ topological order with fermionic particle and fermionic loop excitations that have mutual $π$ statistics. We argue that this construction gives a new non-trivial quantum cellular automaton (QCA) in (4+1)D of order two. We also present an explicit construction of gapped symmetric boundary state for the bosonic beyond group cohomology invertible phase with unitary $\mathbb{Z}_2$ symmetry in (4+1)D. We discuss new quantum phase transitions protected by different invertible phases across the transitions.

研究の動機と目的

• 任意の時空次元におけるボソン系の群コhomologyを超えた可逆的トポロジカル相の厳密に解けるハミルトニアンを一般化して構築する方法を開発すること。
• 親となる群コhomology SPTモデルにおける1次および2次対称性の規約化を通じて、このような相を実現すること。
• 特に(4+1)次元において、これらの相の境界理論に重力的異常がどのように現れるかを示すこと。
• (4+1)Dの$\bbZ_2$ 対称性を有する群コhomologyを超えた可逆的相に対して、ギャップのある対称的境界状態を構築すること。
• 異なるトポロジカル不変量を有する可逆的相によって保護される新しいタイプの量子相転移を同定すること。

提案手法

• 親となる群コhomology SPT相は、$\bbZ_2$-値の2次および3次形式ゲージ場$A_2$および$B_3$を含む位相的作用によって記述される。
• 波動関数は、4次元コサイクル$\theta_4(a,b)$から導かれる$\theta = \frac{\theta}{2}\theta$という位相因子$e^{i\theta}$を用いて構築される。この$\theta_4$は5次元作用のコ boundary である。
• ハミルトニアンは、トポロジカル相を実装するユニタリ変換$U$を用いて$H = U H_0 U^\dagger$から得られ、$H_0 = -\sum_e X_e - \sum_f X_f$という自明なハミルトニアンから導かれる。
• Wuの公式を用いて作用を変更し、$B_3 \bigcup_1 B_3 = w_2 \bigcup B_3$を表現することで、規約化後に有効作用$\pi \int w_2 \bigcup w_3$を特定できる。
• 得られたハミルトニアンは、有限次元の局所ヒルベルト空間を持つ任意の三角形分割または超立方体格子上で定義される局所可換射投影子の和である。
• 境界状態は、バルクハミルトニアンを切断することで得られ、対称性とギャップ構造を保存し、フェルミ統計を有する$\bbZ_2$ トポロジカル秩序を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の時空次元における一般のボソン系の群コhomologyを超えた可逆的トポロジカル相に対して、厳密に解ける格子ハミルトニアンを構築できるか？
• RQ2 特にグローバル対称性が存在しない状況において、このような格子モデルの境界に重力的異常はどのように現れるか？
• RQ3 1次および2次対称性は、規約化を通じて非自明なトポロジカル秩序を実現する際に果たす役割は何か？
• RQ4 (4+1)Dの$\bbZ_2$ 対称性を有する群コhomologyを超えた可逆的相に対して、ギャップのある対称的境界状態を明示的に構築できるか？
• RQ5 非自明なコボルディズム不変量を有する可逆的相によって保護される、どのような新しいタイプの量子相転移が存在するか？

主な発見

• 著者らは、有効作用$\pi \int w_2 \bigcup w_3$を持つ(4+1)Dの群コhomologyを超えた可逆的相に対して、1次および2次対称性の規約化により実現された厳密に解けるハミルトニアンを構築した。
• このモデルは、(4+1)Dで非自明な位数2の量子セルオートマトンを実現し、新しいタイプのトポロジカル秩序を確認した。
• (4+1)Dの$\bbZ_2$ 対称性を有する相の境界は、フェルミ統計を有する粒子およびループ励起を有する$\bbZ_2$ トポロジカル秩序を示し、それらは$\pi$統計で相互にバーティングする。
• (4+1)Dの$\bbZ_2$ 対称性を有する相に対して、ギャップのある対称的境界状態を明示的に構築し、対称性およびトポロジカル秩序を保存した。
• この手法は任意の時空次元に一般化可能であり、積み重ねに関して位数2または4のすべてのボソン系可逆的相に適用可能で、有限次元の局所ヒルベルト空間を持つ。
• この構成により、群コhomologyを超えた異なる相の界面が、Poincaré対称性を持たない格子モデルにおいても、't Hooft異常および重力的異常の両方によって保護されることを確認した。