[論文レビュー] Expansion of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicity 3 Based on Generalized Multiple Fourier Series Converging in the Mean: General Case of Series Summation

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|Jan 4, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、三重ルベーグ積分の逐次的ストラトノビッチ確率積分の平均二乗近似法を、一般化された多重フーリエ級数（具体的には三重ルジャンドル多項式および三角関数フーリエ級数展開）を用いて提示する。この手法は、直交展開を介して、イト積分に関する先行研究をストラトノビッチ積分へ一般化し、平均二乗収束を達成することで、強い収束基準下でのイト型SDEの効率的数値統合を可能にする。

ABSTRACT

The article is devoted to the development of the method of expansion and mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series converging in the mean. We adapt this method for iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicity 3 from the Taylor-Stratonovich expansion. The main result of the article has been derived with using the triple Fourier-Legendre series and triple trigonometric Fourier series for the general case of series summation. Some recent results on the expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 3 to 6 are given. The results of the article can be applied to the numerical integration of Ito stochastic differential equations in accordance with the strong criterion of convergence.

研究の動機と目的

• 3重ストラトノビッチ確率積分の平均二乗近似の一般的手法を開発すること。
• 従来のイト積分に用いられた一般化多重フーリエ級数手法を、ストラトノビッチ積分へ拡張すること。
• ルジャンドル多項式および三角関数フーリエ級数展開の両方について、平均二乗収束を確立すること。
• イット型確率微分方程式の数値統合のための計算的に効率的なフレームワークを提供すること。
• 3重から6重までの反復積分に関する先行結果を、直交展開を用いて一般化すること。

提案手法

• 本手法は、空間 $ L_2([t,T]) $ における一般化された多重フーリエ級数を用い、ルジャンドル多項式や三角関数などの完全正規直交系を採用する。
• 展開は、反復ストラトノビッチ積分の核を直交関数の級数として表現することにより構築される。
• 級数の係数は、核関数と直交基底関数の積の積分により導出される。
• 級数の収束性は、$ L_2 $-直交展開の性質を用いて、平均二乗意味で証明される。
• 本手法は、$ L_2([t,T]) $ 内の任意の完全正規直交系へ一般化可能であり、基底選択の柔軟性を提供する。
• 本手法は、既知の結果との比較および Wong–Zakai 近似への応用を通じて検証されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3重ストラトノビッチ確率積分を、一般化された多重フーリエ級数を用いて平均二乗意味でどのように近似できるか。
• RQ2 三重ルジャンドル多項式および三角関数フーリエ級数展開の収束性は、これらの積分に対してどのように特徴づけられるか。
• RQ3 本手法は、イット積分に対する既存の手法を、高次のストラトノビッチ積分へどのように一般化するか。
• RQ4 SDEの数値統合の文脈において、本手法の展開と Wong–Zakai 近似との関係は何か。
• RQ5 本手法は、3重から6重までの積分に対して、平均二乗収束を保証しながら拡張可能か。

主な発見

• 3重フーリエ–ルジャンドル級数展開は、3重ストラトノビッチ積分に対して、真の積分値へ平均二乗収束する。
• 3重三角関数フーリエ級数展開についても、平均二乗収束が成立し、近似のための代替基底を提供する。
• 本手法は、定理1を $ L_2([t,T]) $ 内の任意の完全正規直交系へ一般化し、その適用範囲を拡大する。
• 本手法により、高次のストラトノビッチ積分の正確な近似が可能となり、強い収束基準下でのイット型SDEの効率的数値統合が実現される。
• 結果は Wong–Zakai 近似と整合的であり、本手法の理論的基盤の妥当性が裏付けられる。
• 本フレームワークは、3重から6重までの反復ストラトノビッチ積分の展開をサポートし、低次の反復積分に関する先行研究を拡張する。