[論文レビュー] To Numerical Modeling With Strong Orders 1.0, 1.5, and 2.0 of Convergence for Multidimensional Dynamical Systems With Random Disturbances

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、非可換ノイズを伴う多次元伊藤型確率微分方程式に対して、強い収束次数1.0、1.5、2.0を有する明示的一段階数値解法を提示する。反復伊藤積分およびストラトノビッチ積分（次数1〜4）の近似に一般化された多重フーリエ＝レジェンドル級数を用いることで、確率的制御およびフィルタリング応用に不可欠な高精度な平均二乗数値モデル化を実現する。

ABSTRACT

The article is devoted to explicit one-step numerical methods with strong orders 1.0, 1.5, and 2.0 of convergence for Ito stochastic differential equations with multidimensional and non-commutative noise. For numerical modeling of iterated Ito stochastic integrals with multiplicities 1 to 4 we use the method of multiple Fourier-Legendre series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k=1,2,3,4.$ The article is addressed to engineers who use numerical modeling in stochastic control and for solving the nonlinear filtering problem.

研究の動機と目的

• 非可換ノイズを伴う多次元伊藤型SDEの数値解法における高次収束次数解法の必要性に対処する。
• 次数1〜4の反復伊藤およびストラトノビッチ確率積分の効率的かつ平均二乗近似技術を開発する。
• 確率的最適制御および非線形フィルタリング応用に適した高精度な数値モデル化を可能にする。
• 実装に適した計算的実行可能性を備えた、一般化された多重フーリエ＝レジェンドル級数に基づくアルゴリズムを提供する。

提案手法

• 次数$k=1,2,3,4$に対して、$L_2([t,T]^k)$ノルムにおける反復伊藤およびストラトノビッチ確率積分を一般化された多重フーリエ＝レジェンドル級数で展開する。
• 直交多項式展開を用いて、反復伊藤およびストラトノビッチ積分のフーリエ＝レジェンドル係数の閉形式表現を導出する。
• 平均二乗ノルムにおける誤差境界を伴う、切断されたレジェンドル級数による反復伊藤積分（次数1〜4）の数値近似を構築する。
• 次数の高い積分（$I_{(10)}$、$I_{(01)}$、$I_{(0000)}$を含む）の近似を組み込むことで、強収束次数1.5および2.0のアルゴリズムを実装する。
• 強収束次数1.5スキームでは平均二乗誤差境界が$\mathcal{O}(\Delta^4)$、次数2.0スキームでは$\mathcal{O}(\Delta^5)$となるように保証し、明示的な誤差推定値を提供する。
• 一貫性を確保するため、[3]のストラトノビッチ積分定義を用い、必要に応じて伊藤＝ストラトノビッチ補正項を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数1〜4の反復伊藤確率積分は、多次元非可換ノイズに対して、保証された平均二乗収束を伴う効率的近似が可能か？
• RQ2 多次元SDEの文脈において、反復伊藤およびストラトノビッチ積分の一般化された多重フーリエ＝レジェンドル級数展開の構造はいかなるものか？
• RQ3 これらの近似を用いて、強収束次数1.5および2.0の数値スキームをどのように構築できるか？
• RQ4 次数1〜4の反復確率積分のレジェンドルベース近似における正確な平均二乗誤差境界は何か？
• RQ5 得られる数値解法は、確率的制御およびフィルタリング問題への実用的実装においてどのように効率的に実装可能か？

主な発見

• 本稿では、反復伊藤およびストラトノビッチ確率積分のフーリエ＝レジェンドル係数について、次数6まで明示的な公式を導出する。これにより高精度な近似が可能となる。
• 次数$k=1,2,3,4$の反復伊藤積分のレジェンドル級数近似における平均二乗誤差は、$\mathcal{O}(\Delta^{k+1})$で有界であり、これにより収束次数1.0、1.5、2.0が保証される。
• 収束次数1.5スキームでは、$I_{(10)}$および$I_{(01)}$積分の近似誤差が$\mathcal{O}(\Delta^4)$で有界であり、レジェンドル多項式係数の和を含む明示的表現が得られる。
• 収束次数2.0スキームでは、$I_{(0000)}$積分を誤差境界$\mathcal{O}(\Delta^5)$で含めることで、より高い精度が達成され、式(68)における誤差推定値により検証される。
• $I_{(10)}$、$I_{(01)}$、$I_{(0000)}$積分の近似を組み込むことで、平均二乗誤差$\mathcal{O}(\Delta^5)$を達成し、強収束次数2.0を実現する。
• アルゴリズムは実用的であり、離散ウィENER増分$\zeta_i^{(i_j)}$を用いて実装可能であり、$I_{(00)}$、$I_{(000)}$、$I_{(0000)}$積分について、これらの変数を用いた明示的公式が提供されている。