[論文レビュー] Extended Functorial Field Theories and Anomalies in Quantum Field Theories

Lukas Müller|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 128被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、対称モノイダル2カテゴリを用いて、異常を1次元高い次元における可逆的場理論として記述する拡張されたファンクター場理論の枠組みを構築する。異常を持つ場理論は、それらの境界上に実現される。パリティ異常については、コーナーを持つ多様体におけるアティヤ＝パトディ＝サインヤー指数定理を用いて明示的な構成がなされ、Dijkgraaf-Witten理論における't Hooft異常に関する条件は、非アーベル群コホホロジーおよびLyndon-Hochschild-Serreスペクトル系列を用いて導出される。

ABSTRACT

We develop a general framework for the description of anomalies using extended functorial field theories extending previous work by Freed and Monnier. In this framework, anomalies are described by invertible field theories in one dimension higher and anomalous field theories live on their boundaries. We provide precise mathematical definitions for all concepts involved using the language of symmetric monoidal bicategories. In particular, field theories with anomalies will be described by symmetric monoidal transformations. The use of higher categorical concepts is necessary to capture the Hamiltonian picture of anomalies. The relation to the path integral and the Hamiltonian description of anomalies will be explained in detail. Furthermore, we discuss anomaly inflow in detail. We apply the general framework to the parity anomaly in fermionic systems coupled to background gauge and gravitational fields on odd-dimensional spacetimes. We use the extension of the Atiyah-Patodi-Singer index theorem to manifolds with corners due to Loya and Melrose to explicitly construct an extended invertible field theory encoding the anomaly. This allows us to compute explicitly the 2-cocycle of the projective representation of the gauge symmetry on the quantum state space. As a second application, we study discrete symmetries of Dijkgraaf-Witten theories and their gauging. Non-abelian group cohomology is used to describe discrete symmetries and we derive concrete conditions for such a symmetry to admit 't Hooft anomalies in terms of the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence. We give an explicit realization of a discrete gauge theory with 't Hooft anomaly as a state on the boundary of a higher-dimensional Dijkgraaf-Witten theory.

研究の動機と目的

• 高階カテゴリカル構造を用いて、量子場理論における異常を数学的に厳密に記述すること。
• 拡張されたファンクター場理論に基づく統一的枠組み内で、経路積分的およびハミルトニアン的記述を統合すること。
• バックグラウンドゲージ場および重力場を伴う奇数次元フェルミオン系における異常を符号化する可逆的場理論を明示的に構成すること。
• 非アーベル群コホホロジーおよびスペクトル系列を用いて、Dijkgraaf-Witten理論における't Hooft異常に関する条件を導出すること。
• 異常を有する離散ゲージ理論を、1次元高いDijkgraaf-Witten理論の境界状態として実現すること。

提案手法

• 異常を伴う場理論を対称モノイダル変換として形式化するために、対称モノイダル2カテゴリを用いる。
• LoyaおよびMelroseによるコーナーを持つ多様体へのアティヤ＝パトディ＝サインヤー指数定理の拡張を用いて、フェルミオン系の異常場理論を構成する。
• Dijkgraaf-Witten理論の離散的対称性を分類するために、非アーベル群コホホロジーを適用する。
• Lyndon-Hochschild-Serreスペクトル系列を用いて、離散ゲージ理論における't Hooft異常存在の条件を導出する。
• 境界状態として、't Hooft異常を有する離散ゲージ理論を実現する、1次元高いDijkgraaf-Witten理論を構築する。
• 1次元高い可逆的場理論を用いた拡張された場理論の形式主義を通じて、ハミルトニアン的記述と経路積分的記述を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、高階カテゴリカル言語における拡張されたファンクター場理論を用いて、量子場理論における異常を体系的に記述できるか？
• RQ2 バックグラウンドゲージ場および重力場を伴う奇数次元時空におけるフェルミオン系におけるパリティ異常は、どのようにして明確な数学的構造を持つのか？
• RQ3 Dijkgraaf-Witten理論における't Hooft異常は、離散的対称性のコホホロジー的データからどのようにして生じるのか？
• RQ4 Lyndon-Hochschild-Serreスペクトル系列は、't Hooft異常存在の決定において、どのように機能するのか？
• RQ5 どのようにして、't Hooft異常を有する離散ゲージ理論を、1次元高いトポロジカル場理論の境界状態として実現できるか？

主な発見

• 奇数次元フェルミオン系におけるパリティ異常は、コーナーを持つ多様体におけるアティヤ＝パトディ＝サインヤー指数定理を用いて構成された拡張された可逆的場理論に符号化されている。
• ゲージ対称性の量子状態空間上の射影表現の2次コホホロジーが、異常場理論の構成を用いて明示的に計算されている。
• 非アーベル群コホホロジーおよびLyndon-Hochschild-Serreスペクトル系列を用いて、Dijkgraaf-Witten理論における't Hooft異常に関する条件が導出された。
• 非可逆的ゲージ理論が、1次元高いDijkgraaf-Witten理論の境界状態として実現され、異常流入メカニズムが裏付けられた。
• 本枠組みは、対称モノイダル2カテゴリの言語を通じて、経路積分的およびハミルトニアン的記述の両方を統合的に扱うことに成功した。
• 境界やコーナーを伴う状況において、ハミルトニアン的記述における異常構造を完全に捉えるために、対称モノイダル2カテゴリの使用が不可欠である。