[論文レビュー] Fixed points of multiplicative contraction mappings on multiplicative metric spaces

Muttalip Özavşar, Adem C. Çevikel|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Fixed Point Theorems AnalysisMathematics被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、乗法的距離空間における乗法的収縮写像を導入し、完備な乗法的距離空間におけるそのような写像の不動点定理を確立する。正の実数の集合 ℝ₊ が乗法的距離に関して完備であることを証明し、定数 λ ∈ [0, 1/2) を含む特定の収縮条件の下で、写像が一意な不動点を持ち、反復列がその不動点に収束することを示す。

ABSTRACT

In this paper, we first discussed multiplicative metric mapping by giving some topological properties of the relevant multiplicative metric space. As an interesting result of our discussions, we observed that the set of positive real numbers $\\mathbb{R}_+$ is a complete multiplicative metric space with respect to the multiplicative absolute value function. Furthermore, we introduced concept of multiplicative contraction mapping and proved some fixed point theorems of such mappings on complete multiplicative metric spaces

研究の動機と目的

• 乗法的距離空間の位相的構造を調査し、完備性などの基礎的性質を確立すること。
• 乗法的収縮写像を定義・分析し、古典的な収縮原理を乗法的設定に一般化すること。
• 完備な乗法的距離空間におけるこのような写像の不動点定理を証明し、不動点の存在および一意性を保証すること。
• 具体的な例を通じて結果の適用可能性を示し、ℝ₊ や ℝ² の部分集合上の写像を含む。
• 乗法的三角不等式および逆三角不等式を用いて、標準的距離空間における古典的不動点理論を乗法的距離空間へ拡張すること。

提案手法

• X×X→ℝ への写像 d:X×X→ℝ として、x≠y ならば d(x,y)>1、x=y ならば d(x,y)=1、対称性、および乗法的三角不等式 d(x,z)≤d(x,y)·d(y,z) を満たす乗法的距離 d の定義。
• ℝ₊ⁿ および ℂⁿ における乗法的距離の構成のため、|a|⁎=a (a≥1)、1/a (a<1) と定義される乗法的絶対値関数 |a|⁎ の導入。
• 乗法的逆三角不等式の確立：すべての x,y,z∈X に対して |d(x,z)/d(y,z)|⁎ ≤ d(x,y)。
• 乗法的開球および閉球の定義を行い、開球が乗法的開集合であることを証明し、X 上に位相を構成すること。
• λ∈[0,1/2) を満たす λ に対して、d(fx,fy)≤(d(fx,y)·d(fy,x))⁵ を満たす乗法的収縮写像の定義と、反復列を用いた収束の証明。
• 空間の完備性を用いて、コーシー列 (xn) が極限 z に収束することを示し、極限の議論により d(fz,z)=1 ならば fz=z であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の実数の集合 ℝ₊ は、乗法的距離 d(x,y)=|x/y|⁎ に関して完備であるか？
• RQ2 完備な乗法的距離空間において、乗法的収縮写像の不動点定理を確立できるか？
• RQ3 写像 f:X→X が完備な乗法的距離空間上で不動点を有するための条件は何か？
• RQ4 このような空間における反復列 (fⁿx) の挙動はいかなるものか？ また、それらは不動点に収束するか？
• RQ5 乗法的三角不等式および逆三角不等式を用いて、古典的不動点結果を乗法的距離空間へ一般化できるか？

主な発見

• 正の実数の集合 ℝ₊ は、乗法的絶対値関数 |a|⁎ に関して完備な乗法的距離空間である。
• ℝ₊ 上の乗法的距離 d(x,y)=|x/y|⁎ は、乗法的三角不等式を含むすべての公理を満たす。
• λ∈[0,1/2) を満たす λ に対して、d(fx,fy)≤(d(fx,y)·d(fy,x))⁵ を満たす写像 f に対して、任意の完備な乗法的距離空間に一意な不動点が存在する。
• 上記の収縮条件を満たす完備な乗法的距離空間において、反復列 (fⁿx) は不動点に収束する。
• X=[0.1,1] 上の写像 f(x)=e^{x−1−x³/10} は、λ=0.997 を満たす乗法的収縮条件を満たし、約 0.7411 に一意な不動点を持つ。
• X⊂ℝ² における例 d((a,b),(c,d))=(|a/c|⁎·|b/d|⁎)^{1/3} は、λ=1/2 の収縮条件の下で、(1,1) に一意な不動点が存在することを確認している。