[論文レビュー] Fourier-Mukai transforms for quotient varieties

Tom Bridgeland, Antony Maciocia|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、正則バンドルの位数が有限である滑らかで射影的多様体上のフーリエ＝ムカイ（FM）変換と、その canonical コーティング上の等長的 FM 変換の間の対応関係を確立する。このような多様体上の FM 変換がその canonical コーティング上の等長的変換に引き上げられること、逆に、コーティング上の等長的変換が商多様体上の FM 変換に下方に降下することを証明する。主な貢献は、この引き上げ手続きを用いて、エンリケス面および双楕円面の新しい FM 変換を構成することにある。

ABSTRACT

We study Fourier-Mukai transforms for smooth projective varieties whose canonical bundles have finite order, and relate them to equivariant transforms on certain finite covering spaces. Our results lead to new equivalences of derived categories for Enriques and bielliptic surfaces.

研究の動機と目的

• 正則バンドルの位数が有限である多様体上の FM 変換と、それらの canonical コーティング上の等長的 FM 変換の間の対応関係を確立すること。
• このような商多様体上の FM 変換がコーティング上の等長的変換から生じること、逆にその逆も成り立つことを示すこと。
• この引き上げ機構を用いて、エンリケス面および双楕円面の新しい FM 変換の例を構成すること。
• コーティング上の層のモジュライ空間への G-作用が商多様体上の変換に降下するための数値的条件を提供すること。

提案手法

• canonical コーティング構成の使用：正則バンドルの位数が n である多様体 X に対して、正則バンドルが自明で、自由な Zn-作用を持つ有限エタール被覆 p: X̃ → X を構成する。
• このような多様体間の任意の FM 変換 Φ: D(Y) → D(X) が、canonical コーティング上の Zn-等長的 FM 変換 Φ̃: D(Ỹ) → D(Ẋ) に引き上げられることを示す。
• 商写像に沿った引き戻しと押し出しの関手を含む図式が可換であることを証明する。
• 準素的圏の形式的記法と、連接層の性質（特に導来テンソル積と導来押し出し）を用いる。
• オルロフの代表可能性定理を適用し、任意の FM 同値を D(Y × X) 内のカーネル対象によって表現すること。
• G-作用がコーティング上のモジュライ空間上で自由であるかどうかを判定する基準（補題 5.1）を確立し、商への降下を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商多様体 X = X̃/G 上のフーリエ＝ムカイ変換が、canonical コーティング X̃ 上の G-等長的変換に引き上げられる条件は何か？
• RQ2 正則バンドルが自明な多様体上の G-等長的 FM 変換が、商多様体上の FM 変換に下方に降下する条件は何か？
• RQ3 コーティング上の層のモジュライ空間への G-作用が自由となる条件は何か？ これにより、商への降下が可能となる。
• RQ4 この引き上げ手続きを用いて、エンリケス面および双楕円面の新しい FM 変換をどのように構成できるか？

主な発見

• 正則バンドルの位数が n である滑らかで射影的多様体間の任意の FM 変換 Φ: D(Y) → D(X) は、それらの canonical コーティング上の Zn-等長的 FM 変換 Φ̃: D(Ỹ) → D(Ẋ) に引き上げられる。
• 商写像に沿った引き戻しと押し出しの関手を含む図式は可換であり、変換の間の整合性が保証される。
• コーティング上の層のモジュライ空間への G-作用が自由であるための必要十分条件は、X 上のすべてのベクトル束 F に対して、χ(pX*F, P̃y) の最高公約数が 1 であることである。
• エンリケス面 X に対して、K3 コーティング上の反射関手は、Φ(𝒪x) が特定の短完全系列に含まれる性質を持つ FM 自同値変換 Φ: D(X) → D(X) に下方に降下する。
• 基本群が Zn である双楕円面 X に対して、コーティング上の安定層のモジュライ空間から、新しい FM 変換 Φ: D(Y) → D(X) が構成され、Φ(𝒪y) は階数 4n の局所自由層である。
• エンリケス面および双楕円面の場合は、2つのこのような多様体間の導来同値が存在するならば、それらは同型であることが示されている（後続の [5] を参照）。