[論文レビュー] Fractionalization of Coset Non-Invertible Symmetry and Exotic Hall Conductance

Po-Shen Hsin, Ryohei Kobayashi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2024

Advanced Physical and Chemical Molecular InteractionsChemistry被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$G/K$ における分数化可能な非可逆的対称性（$K$ が $G$ の正規でない部分群である）を (2+1)D トポロジカル秩序系においてフレームワーク化する。非可逆的対称性であっても、『サンドイッチ』構成による非可逆的欠陥と明示的な格子模型を通じて、特異なホール導電率が生じることを示している。$O(2)$ および $S_3$ ゲージ理論の代表的例では、分数化した任意onsと混合異常が観察される。

ABSTRACT

We investigate fractionalization of non-invertible symmetry in (2+1)D topological orders. We focus on coset non-invertible symmetries obtained by gauging non-normal subgroups of invertible $0$-form symmetries. These symmetries can arise as global symmetries in quantum spin liquids, given by the quotient of the projective symmetry group by a non-normal subgroup as invariant gauge group. We point out that such coset non-invertible symmetries in topological orders can exhibit symmetry fractionalization: each anyon can carry a "fractional charge" under the coset non-invertible symmetry given by a gauge invariant superposition of fractional quantum numbers. We present various examples using field theories and quantum double lattice models, such as fractional quantum Hall systems with charge conjugation symmetry gauged and finite group gauge theory from gauging a non-normal subgroup. They include symmetry enriched $S_3$ and $O(2)$ gauge theories. We show that such systems have a fractionalized continuous non-invertible coset symmetry and a well-defined electric Hall conductance. The coset symmetry enforces a gapless edge state if the boundary preserves the continuous non-invertible symmetry. We propose a general approach for constructing coset symmetry defects using a "sandwich" construction: non-invertible symmetry defects can generally be constructed from an invertible defect sandwiched by condensation defects. The anomaly free condition for finite coset symmetry is also identified.

研究の動機と目的

• 可逆的対称性からの分数化を非可逆的対称性へ拡張すること、特に $K$ が $G$ において正規でない場合のコセット対称性 $G/K$ を対象とすること。
• 量子スピン液体およびゲージ化されたFQH状態に現れるこのような非可逆的対称性が、トポロジカル秩序においてどのように分数化するかを理解すること。
• (2+1)D においてコセット非可逆的対称性の分数化パターンを体系的に構築・分類する方法を確立すること。
• 非可逆的対称性であっても、明確に定義された電気的ホール導電率を支持できることを示すこと。
• 分数化された非可逆的対称性を有する系における異常と脱コンfinement的臨界点の役割を調査すること。

提案手法

• 可逆的対称性欠陥と、部分群 $K$ を凝縮する凝縮欠陥を組み合わせることで、非可逆的欠陥を『サンドイッチ』機構により構築する。
• チェーン＝サイモンズ場理論を用いて体積内のトポロジカル秩序を記述し、$O(2)_{2k}$ および $S_3$ 量子双対モデルを主要な例とする。
• 群 $G$ の表現を $K$ の表現に分解することで、対称性の分数化を分析し、コセット対称性がウィルソン線にどのように作用するかを示す。
• 任意onsが対称性欠陥とホッピングする様子や、ウィルソン線がコセット対称性の下でどのように変換されるかを調べることで、格子上の分数化データを導出する。
• 異常流入と整合性条件を適用し、有限なコセット対称性のための可能な分数化パターンを分類する。
• 離散的部分群 $K$ をゲージ化することで脱コンフィnement的臨界点を研究し、1形式対称性とコセット対称性の間の混合異常を導く。

Figure 1: The continuous non-invertible symmetry defect of the gauged theory $\mathcal{T}/K$ is understood as an invertible defect sandwiched by a pair of half gauging defects.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可逆的対称性 $G/K$（$K$ が $G$ において正規でない）が (2+1)D トポロジカル秩序系においてどのように分数化されるか。
• RQ2 このような非可逆的対称性における分数化の物理的意味と測定可能な結果、特に輸送応答の観点から何が生じるか。
• RQ3 非可逆的対称性を有する系において、明確に定義されたホール導電率を定義できるか。また、標準的な $U(1)$ ホール導電率とはどのように異なるか。
• RQ4 任意onsのホッピングおよび融合性質が、コセット非可逆的対称性の作用を受けるとどのように変化するか。
• RQ5 1形式対称性とコセット対称性の間の混合異常は、脱コンフィnement的量子臨界性にどのような意味を持つか。

主な発見

• $U(1)_{2k}$ FQH状態の $\bZ_2$ 電荷共役対称性をゲージ化することで得られる $O(2)_{2k}$ チェーン＝サイモンズ理論は、連続的な非可逆的対称性 $(U(1)\rtimes\bbZ_2)/\bbZ_2$ を示し、これをコサイン対称性と呼ぶ。
• このコサイン対称性は分数化されている：$O(2)_{2k}$ 理論内の任意onsは、電荷共役作用により関連づけられる反対の分数電荷の重ね合わせを形成し、その電荷が分数化されている。
• 非可逆的対称性であるにもかかわらず、電気的ホール導電率は明確に定義されており、電荷共役作用に関して偶関数であるため、一貫した応答関数を持つ。
• $S_3$ 量子双対モデルでは、コセット対称性 $S_3/\bbZ_2$ が $\bbZ_2$ ウィルソン線に非自明に作用し、それらを真空線に写像する。これは可逆的対称性では不可能な変換である。
• $S_3/\bbZ_2$ 対称性の分数化は、$\bbZ_2$ 1形式対称性とコセット対称性の間の混合異常を引き起こし、臨界点でのコンフィnementを防ぐ。
• 欠陥サンドイッチ構成は、可逆的対称性と凝縮欠陥から非可逆的欠陥を構築する一般的手法を提供し、分数化パターンの体系的分類を可能にする。

Figure 2: (a): The junction of the cosine symmetry defects that corresponds to the fusion channel $\tilde{U}_{[g]}\times\tilde{U}_{[g^{\prime}]}\to\tilde{U}_{[gkg^{\prime}k^{-1}]}$ . (b): Conjugating the invertible defects by $k\in K$ in the network of coset symmetry defects leads to an another expr