[論文レビュー] From Blind deconvolution to Blind Super-Resolution through convex programming

Augustin Cosse|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 40被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、入力信号の数が少ない場合に、既知の低次元部分空間に存在する信号に限定して、核ノルム最小化による凸計画法を用いて、ブラインドデコンボリューションおよびブラインドスーパーキャリブレーションを解けることを確立している。主な結果として、環境次元 $ L \gtrsim K^{3/2} \mu_m^2 $ および入力数 $ N \gtrsim K^{1/2} \mu_h^2 $ の条件下で、対数要因を除き高確率で正確な復元が可能であることが示され、ネウマン級数を用いた証明の構築と、項の制御に集中不等式を適用することで得られる。

ABSTRACT

This paper discusses the recovery of an unknown signal $x\in \mathbb{R}^L$ through the result of its convolution with an unknown filter $h \in \mathbb{R}^L$. This problem, also known as blind deconvolution, has been studied extensively by the signal processing and applied mathematics communities, leading to a diversity of proofs and algorithms based on various assumptions on the filter and its input. Sparsity of this filter, or in contrast, non vanishing of its Fourier transform are instances of such assumptions. The main result of this paper shows that blind deconvolution can be solved through nuclear norm relaxation in the case of a fully unknown channel, as soon as this channel is probed through a few $N \gtrsim μ^2_m K^{1/2}$ input signals $x_n = C_n m_n$, $n=1,\ldots,N,$ that are living in known $K$-dimensional subspaces $C_n$ of $\mathbb{R}^L$. This result holds with high probability on the genericity of the subspaces $C_n$ as soon as $L\gtrsim K^{3/2}$ and $N\gtrsim K^{1/2}$ up to log factors. Our proof system relies on the construction of a certificate of optimality for the underlying convex program. This certificate expands as a Neumann series and is shown to satisfy the conditions for the recovery of the matrix encoding the unknowns by controlling the terms in this series. An incidental consequence of the result of this paper, following from the lack of assumptions on the filter, is that nuclear norm relaxation can be extended from blind deconvolution to blind super-resolution, as soon as the unknown ideal low pass filter has a sufficiently large support compared to the ambient dimension $L$. Numerical experiments supporting the theory as well as its application to blind super-resolution are provided.

研究の動機と目的

• フィルタのスパarsityや不整合性に関する事前仮定なしに、ブラインドデコンボリューションを凸計画法で解ける条件を確立すること。
• フィルタに関する制限的な仮定を除去することで、核ノルム最小化の適用範囲をブラインドデコンボリューションからブラインドスーパーキャリブレーションに拡張すること。
• 未知の信号およびフィルタの正確な復元を、低次元部分空間内の最小限のプロービング信号数で理論的に保証すること。
• ネウマン級数展開を用いた証明フレームワークを構築し、凸緩和の最適性を検証すること。

提案手法

• 信号とフィルタを行列変数にマッピングすることで、ブラインドデコンボリューションを低ランク行列回復問題に定式化し、核ノルム最小化により低ランクを促進する。
• 最適性の証明として、ネウマン級数展開による証明を構築し、正確な復元のための部分勾配条件を満たすことを示す。
• ネウマン級数の最初の2項を、部分指数的ベルンシュタイン不等式およびU統計量のためのローゼンタール＝ピネリス不等式の行列版を用いて評価する。
• 残りの高階項は、U統計量のための集中とデカップリング技術に基づく一般的議論により制御する。
• 証明は、入力信号のエネルギー分布とフィルタのフーリエ変換のエネルギー分布をそれぞれ測定する共通パラメータ $ \mu_m $ と $ \mu_h $ に依存する。
• 低通フィルタが十分に広がっている場合、同じ凸緩和がブラインドスーパーキャリブレーションに適用可能であることが示され、フレームワークが拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィルタのスパarsityや不整合性を仮定せず、凸計画法でブラインドデコンボリューションを解けるか？
• RQ2 ブラインドデコンボリューション設定で、信号とフィルタを復元するために必要な最小入力信号数は何か？
• RQ3 フィルタに関する一般条件の下で、核ノルム最小化をブラインドスーパーキャリブレーションに拡張できるか？
• RQ4 フィルタや入力に関する事前知識がない状況で、最適性の証明をどのように構築し、検証できるか？
• RQ5 共通パラメータ $ \mu_m $ と $ \mu_h $ は、復元のサンプル複雑性にどのように寄与するか？

主な発見

• 環境次元 $ L \gtrsim K^{3/2} \mu_m^2 $ および入力数 $ N \gtrsim K^{1/2} \mu_h^2 $ の条件下で、対数要因を除き高確率で信号とフィルタの正確な復元が可能である。
• この手法は、既知の $ K $ 次元部分空間に存在する少数の入力信号のみを必要とし、測定数を著しく削減できる。
• 証明はネウマン級数を用いて証明を構築し、最初の2項は部分指数的およびローゼンタール型不等式で評価される。
• 2次項は一変量項とクロス項に分解され、それぞれデカップリングとU統計量技術を用いて評価される。
• 従来の研究とは異なり、スパarsityや不整合性の仮定を不要とし、フィルタのフーリエサポートが十分に大きい場合にはブラインドスーパーキャリブレーションにも適用可能である。
• 数値実験により理論的予測が確認され、ブラインドスーパーキャリブレーション応用における手法の有効性が示された。