[論文レビュー] Functional contractions in local Branciari metric spaces

Mihai Turinici|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2012

Fixed Point Theorems AnalysisMathematics参考文献 17被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、局所ブラニャリ距離空間における関数的収縮写像の不動点定理を確立し、バナッハとルスの古典的結果を拡張する。空間が完備または軌道的完備である場合、強い再帰的関数 φ を含む一般化された収縮条件の下で、自己写像 T が一意な不動点を持つことを証明する。これは、非対称的および一般化された距離空間における先行研究を一般化する。

ABSTRACT

A fixed point result is given for a class of functional contractions over local Branciari metric spaces. It extends some contributions in the area due to Fora et al [Mat. Vesnik, 61 (2009), 203-208].

研究の動機と目的

• 標準的およびブラニャリ距離を一般化する変数多面体不等式条件を許容する局所ブラニャリ距離空間への不動点理論の拡張。
• このような空間における関数的収縮写像が一意な不動点を持つための条件を確立すること。
• ハウスドルフ性と完備性の仮定を、軌道的完備性と局所構造を用いることで緩和できることを示すこと。
• フォラら、ダスとデイ、リーダーの先行研究を、強い再帰的関数を用いたマトコフスキー型収縮を組み込むことで一般化すること。
• 空間の正則性条件（例：ハウスドルフ性）は必要ではなく、キキナとキキナの以前の観察を確認すること。

提案手法

• 各有効に可算な部分集合 M に対して (2+k)-多面体不等式を満たす反射的十分対称関数として、局所ブラニャリ距離を定義する。ここで k は M に依存する。
• この一般化された距離枠組みにおいて、d-収束および d-コーシー列の概念を導入する。
• 関数的収縮条件を用いる：d(Tx,Ty) ≤ φ(F(x,y))。ここで φ は Fr(R+) に属する強い再帰的関数であり、F は x, y, Tx, Ty 間の距離を含む。
• 軌道的完備性の下で、T-軌道列 (T^n x) が一意な不動点に d-収束することを証明する。
• 極限 z ≠ Tz であると仮定し、点の鎖を用いた多面体不等式を適用して、φ(ρ) ≥ ρ を導き、φ の強い再帰性に矛盾する。
• 標準的完備性の場合への結果の拡張を行い、d が標準的距離であるか、四面体不等式を満たす場合、結果が既知の定理に還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハウスドルフ性を要請しないで、局所ブラニャリ距離空間における関数的収縮写像の不動点結果を拡張できるか？
• RQ2 収縮関数 φ にどのような条件を課すと、このような空間で不動点の存在と一意性が保証されるか？
• RQ3 軌道的完備性は、局所ブラニャリ距離空間における反復列の収束を保証するのに十分か？
• RQ4 (2+k)-多面体不等式は、不動点理論における三角不等式および四面体不等式をどのように一般化するか？
• RQ5 距離空間の正則性仮定をどれほど緩和しても、不動点性質が保たれるか？

主な発見

• 局所ブラニャリ距離空間において、強い再帰的関数 φ を用いた関数的収縮条件を満たす任意の自己写像 T に対して、一意な不動点が存在する。
• 空間が T-軌道的完備である限り、任意の初期点 x に対して、T-軌道列 (T^n x) が不動点に d-収束する。
• d が標準的距離である場合、古典的バナッハの収縮原理に一般化され、d が距離空間の場合にリーダーの結果を拡張する。
• 証明では、極限 z ≠ Tz であると仮定すると、ρ ≤ φ(ρ) が導かれ、φ の強い再帰性に矛盾するため、ρ = 0 であることが示される。
• フォラらの先行研究における φ の上半連続性条件は、収束の議論では不要であるため、本フレームワークにより削除可能である。
• φ がボイド＝ワーグン型関数である場合、本定理はダスとデイ（2012）の結果を特別な場合として含む。