[論文レビュー] (G, \mu)-displays and Rapoport-Zink spaces

Oliver Bueltel, G. Pappas|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Zinkのワイルトベクトルの表示の群論的一般化として、$(G,\mu)$-表示を導入し、$p$-可除群に依存せずに再び赤道群とコキャラクターからRapoport-Zink形式的スキームを構成する。主な貢献は、特にホッジ型の場合に、これらの形式的スキームが$p$-進局所シムーラ多様体の整数的モデルとしての代表可能性を、推測的かつ部分的に証明することにある。

ABSTRACT

Let (G, \\mu) be a pair of a reductive group G over the p-adic integers and a minuscule cocharacter {\\mu} of G defined over an unramified extension. We introduce and study "(G, \\mu)-displays" which generalize Zink's Witt vector displays. We use these to define certain Rapoport-Zink formal schemes purely group theoretically, i.e. without p-divisible groups.

研究の動機と目的

• 再び赤道群$G$と最小的コキャラクター$\mu$を用いて、$p$-可除群に依存しない、Rapoport-Zink形式的スキームの完全な群論的構成を開発すること。
• 再び赤道群のスキーム$G$に対して$G$- torsorとループ群構造を用いて、Zinkの表示理論を$\mathbb{Z}_p$上のに一般化すること。
• $p$-nilpotentな代数の上の函手${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$を定義し、これはハイパースペシャルレベルにおける局所シムーラ多様体の整数的モデルを推測的に表す。
• $p$-局所シムーラデータがホッジ型である、すなわち$\mathrm{GL}_n$に埋め込める場合に、この函手が形式的スキームとして代表可能であることを証明すること。

提案手法

• $\Phi_{G,\mu}: H^\mu \to L^+G_{W(k_0)}$を、$\mu^\sigma(p)$による共役とワイルトベクトル上のフロベニウスを用いて定義する、除法的フロベニウス写像を導入する。
• $P$を$L^+G$-torsor、$Q$を$H^\mu$-torsor、$u: Q \to P$を$\Phi_{G,\mu}$と整合する写像とする、三つ組$(P, Q, u)$として$(G,\mu)$-表示を定義する。
• $[L^+G_{W(k_0)} /_{\Phi_{G,\mu}} H^\mu]$の商スタックを用いて、$(G,\mu)$-表示をパラメトライズし、表示のモジュライを一般化する。
• $(G,\mu)$-表示に追加構造（$\sigma$-共役類$[b]$に関連する）を備えたモジュライを用いて、$p$-nilpotent代数上の函手${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$を構成する。
• 変形理論と持ち上げ技術を用いて、モジュライ函手の局所構造を研究する。
• $p$-局所シムーラデータがホッジ型である場合に、${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$が形式的スキームとして代表可能であることを、$\mathrm{GL}_n$の場合への還元を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rapoport-Zink形式的スキームは、$p$-可除群に言及せずに、完全に群論的に定義可能か？
• RQ2 Zinkの表示理論は、$G$-torsorとループ群構造を用いて、再び赤道群のスキームに一般化可能か？
• RQ3 $\sigma$-共役類$[b]$を用いて定義される函手${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$は、形式的スキームによって代表可能か？
• RQ4 $(G,\mu)$-表示に追加構造を備えたモジュライ空間が形式的スキームであるための条件は何か？
• RQ5 ${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$の構成は、ホッジ型の場合に$p$-進局所シムーラ多様体の整数的モデルをもたらすか？

主な発見

• 本稿は、$(G,\mu)$-表示を用いて、$p$-可除群に依存しないRapoport-Zink形式的スキームの群論的定義を構成する。
• 除法的フロベニウス$\Phi_{G,\mu}$は、$G(W(R)[1/p])$内で$\Phi_{G,\mu}(h) = \mu^\sigma(p) \cdot F(h) \cdot \mu^\sigma(p)^{-1}$として定義され、表示理論の主要構造を提供する。
• 函手${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$は、ハイパースペシャルレベルにおける局所シムーラ多様体の整数的モデルとしての形式的スキームによる代表可能性を推測している。
• ホッジ型の場合に、埋め込み技術を用いて$\mathrm{GL}_n$の場合への還元により、${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$の代表可能性が証明された。
• 理論は、$G$-torsorをワイルト環上に用いることで、Rapoport-Zink空間の幾何と再び赤道群の表現論との直接的な関係を確立する。
• 本稿は、ほとんどフロベニウス分離代数におけるべき等元で有界なネガティブイデアルが自明であることを証明し、代表可能性の議論で用いられる技術的結果を提供する。