[論文レビュー] Homotopy Batalin-Vilkovisky algebras

Imma Gálvez-Carrillo, Andrew Tonks+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 45被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、二次的および線形関係を持つoperadのための拡張されたコーエルズ双対性理論を用いて、バタリン＝ヴィルコフスキー（BV）代数を記述するoperadの明示的なコフリーブレント分解を構成する。この分解により、ホモロジー上のBV代数構造を引き上げるホモトピーBV代数構造が得られ、変形理論、障害理論、および循環的デリーニュ予想の検証が可能になる。

ABSTRACT

This paper provides an explicit cofibrant resolution of the operad encoding Batalin-Vilkovisky algebras. Thus it defines the notion of homotopy Batalin-Vilkovisky algebras with the required homotopy properties. To define this resolution we extend the theory of Koszul duality to operads and properads that are defind by quadratic and linear relations. The operad encoding Batalin-Vilkovisky algebras is shown to be Koszul in this sense. This allows us to prove a Poincare-Birkhoff-Witt Theorem for such an operad and to give an explicit small quasi-free resolution for it. This particular resolution enables us to describe the deformation theory and homotopy theory of BV-algebras and of homotopy BV-algebras. We show that any topological conformal field theory carries a homotopy BV-algebra structure which lifts the BV-algebra structure on homology. The same result is proved for the singular chain complex of the double loop space of a topological space endowed with an action of the circle. We also prove the cyclic Deligne conjecture with this cofibrant resolution of the operad BV. We develop the general obstruction theory for algebras over the Koszul resolution of a properad and apply it to extend a conjecture of Lian-Zuckerman, showing that certain vertex algebras have an explicit homotopy BV-algebra structure.

研究の動機と目的

• バタリン＝ヴィルコフスキー代数は、数学的物理および位相幾何学において基本的であるが、コフリーブレント分解を欠いているため、それらのためのホモトピー理論を構築すること。
• 二次的および線形関係で定義されるoperadのためのコーエルズ双対性理論を拡張し、BVoperadの分解を可能にする。
• BVoperadの明示的かつ小さな準自由分解を構成し、完全なホモトピー性質を持つホモトピーBV代数を定義すること。
• トポロジカルなコンformal field理論および円周作用を伴う二重ループ空間が、ホモロジーレベルでのBV構造を引き上げるホモトピーBV代数構造を持つことを証明すること。
• 分解を用いてホモトピーBV代数の変形理論および障害理論を確立し、循環的デリーニュ予想を検証すること。

提案手法

• 二次的および線形関係を持つoperadのための非同次コーエルズ双対性理論を拡張し、BVoperadがこの一般化された意味でコーエルズ的であることを証明する。
• 相対的次数 $[n]$ を持ち、$sV_1$生成子の数を追跡する、次数付きコプロパーad $\mathscr{P}^{\scriptstyle\text{\rm!`}}$ をコーエルズ双対コプロパーadとして構成する。
• コフリーブレント分解 $\mathscr{BV}^\text{!`}$ を用いてホモトピーBV代数を定義し、構造を表す四つの同値な定義を与える。
• 相対的次数を持つ $\mathrm{Hom}_{\mathbb{S}}(\mathscr{BV}^{\scriptstyle\text{\rm!`}}, \mathrm{End}_A)$ の畳み込みdgリー代数 $\mathfrak{g}$ を用いて変形理論および障害理論を記述する。
• 分解 $\gamma = \gamma_0 + \gamma_1 + \cdots$ を持つマウラー＝カルタン方程式を $\mathfrak{g}$ に適用し、$\gamma_0$ がホモトピー $\mathscr{P}_0$-代数構造であることを仮定する。
• フレームド小円盤operadのフォーマリティおよび分解のコフリーブレント性を活用し、任意のトポロジカルなコンフォーマル場理論または $S^1$-作用を伴う二重ループ空間がホモトピーBV代数構造を持つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バタリン＝ヴィルコフスキー代数を記述するoperadに対して、コフリーブレント分解を明示的に構成できるか？
• RQ2 二次的および線形関係を持つoperadのための拡張されたコーエルズ双対性理論は、ピオンカーレ＝ビーケルホフ＝ワイトの定理および小さな分解を可能にするか？
• RQ3 トポロジカルなコンフォーマル場理論および二重ループ空間におけるホモロジーからホモトピーBV代数構造をチェーン複体に引き上げることは可能か？
• RQ4 コフリーブレント分解を用いた場合、循環的デリーニュ予想は成立するか？
• RQ5 ホモトピーBV代数の変形理論および障害理論は何か？ そして、畳み込みリー代数を用いてどのように記述できるか？

主な発見

• バタリン＝ヴィルコフスキー代数を記述するoperad $\mathscr{BV}$ が、二次的・線形関係の意味で拡張された意味でコーエルズ的であることが示され、コフリーブレント分解が可能になる。
• $\mathscr{BV}$ の明示的かつ小さな準自由分解が構成され、完全なホモトピー性質を持つホモトピーBV代数の概念的定義が得られる。
• $\mathscr{BV}$ operadに対してピオンカーレ＝ビーケルホフ＝ワイトの定理が成り立ち、その普遍包あらたな代数の構造的性質が確認される。
• 任意のトポロジカルなコンフォーマル場理論は、そのホモロジー上のBV代数構造を引き上げるホモトピーBV代数構造を持つ。
• $S^1$-作用を伴うトポロジカルな空間の二重ループ空間は、ホモロジー上のBV代数構造を引き上げるホモトピーBV代数構造を持つ。
• コフリーブレント分解を用いて循環的デリーニュ予想が証明され、フロベニウス代数のホッホシュィルドコチェーン複体がホモトピーBV代数構造を備えることが示される。