[論文レビュー] Impact of impurities on the topological boundaries and edge state localization in a staggered chain of atoms: SSH model and its topoelectrical circuit realization

Julio César Pérez-Pedraza, José Eduardo Barrios-Vargas+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2024

Advanced Physical and Chemical Molecular InteractionsChemistry被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、タイトビinding理論とトポエレクトリカル回路シミュレーションを用いて、スー＝シュリーファー＝ヘガー（SSH）モデルにおける不純物スーパーラティスがトポロジカル境界およびエッジ状態の局在に与える影響を調査する。不純物はトポロジカル位相境界条件を変化させ、スーパセル内での不純物位置に応じてエッジ状態の局在を顕著に強化する。回路実装における共鳴インピーダンス応答は、トポロジカル保護の証明となる。

ABSTRACT

We study the Su-Schrieffer-Hegger model, perhaps the simplest realization of a topological insulator, in the presence of an embedded impurity superlattice. We consider the impact of the said impurity by changing the hopping amplitudes between them and their nearest neighbors in the topological boundaries and the edge state localization in the chain of atoms. Within a tight-binding approach and through a topolectrical circuit simulation, we consider three different impurity-hopping amplitudes. We found a relaxation of the condition between hopping parameters for the topologically trivial and non-trivial phase boundary and a more profound edge state localization given by the impurity position within the supercell.

研究の動機と目的

• スーパーラティス構造に存在する不純物がSSHモデルにおけるトポロジカル位相遷移に与える影響を理解すること。
• エッジ状態の局在がスーパセル内での不純物位置とどのように関係するかを分析すること。
• 設計された不純物を有するSSHモデルのトポエレクトリカル回路実装を確立し、実験的妥当性を検証すること。
• 不純物に起因する hopping 幅の変化が、トポロジカル位相境界条件にどのように影響するかを明らかにすること。
• トポエレクトリカル回路における共鳴インピーダンス応答が、トポロジカルエッジ状態の兆候としてどのように機能するかを示すこと。

提案手法

• 不純物スーパーラティスを有する $N,i$-スーパーヘガー（SSH）モデルに拡張し、不純物と隣接するサイト間の hopping 幅を変更する。
• 位置依存の hopping パラメータ $v$, $w$, $v'$, $w'$ を用いて、不純物効果をモデル化するタイトビindingハミルトニアンを構築する。
• トポエレクトリカル回路は、LCネットワークを用いて実現され、コンデンサ $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ が hopping 幅を表し、インダクタがノードの接続性を定義する。
• 回路ラプラシアンからアドミittance行列 $J$ を導出する。$J_{ab}( au) = i au [N_{ab}( au) + \tau \text{diag}(W_a)]$ であり、$J \boldsymbol{V} = \boldsymbol{I}$ を通じてタイトビindingハミルトニアンと関連付ける。
• インピーダンス $Z_{ab}$ は正則化されたグリーン関数 $G = \text{sum} \frac{|\boldsymbol{\tilde{\rho}}_n|^2}{j_n}$ を用いて計算され、$j_n$ はアドミittance固有値を表す。
• 駆動周波数を変化させた際の電圧応答およびインピーダンス共鳴を測定することで、エッジ状態の局在およびトポロジカル位相遷移を調査する。

Figure 1: (a) Scheme of the $N,i$ -super-SSH model for $N=3$ , $i=3$ . The shaded area denotes the SSH-unit cell, the supercell number is given by the parameter $m$ , the supercell position by $p$ , the species parameter is $\alpha$ and the impurity position is denoted by $i$ . (b) and (c): Supercel

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スーパーラティス構造における不純物は、SSHモデルにおけるトポロジカル位相境界条件をどのように変更するか？
• RQ2 不純物がスーパセル内に位置する場所が、エッジ状態の局在にどのように影響するか？
• RQ3 トポエレクトリカル回路は、トポロジカルエッジ状態およびそれらの不純物への応答をどれほど正確にシミュレートできるか？
• RQ4 不純物が存在する状況下で、アドミittance固有モードとインピーダンス共鳴の関係は何か？
• RQ5 変更された hopping 幅（$v', w'$）は、トポロジカル不変量および中間ギャップモードの形成をどのように変化させるか？

主な発見

• 不純物は、トポロジカル位相遷移に必要な hopping 幅の関係を緩和し、非自明なトポロジーのためのパラメータ空間を拡大する。
• 不純物がスーパセル内の特定の位置に配置されると、特に鎖の端付近に近い場合、エッジ状態の局在が顕著に強化される。
• トポエレクトリカル回路は、トポロジカル位相遷移周波数で鋭いインピーダンス共鳴を示し、保護されたエッジモードの存在を確認する。
• 回路内の電圧応答は、コンデンサ間で反位相の振動を示し、予測された中間ギャップモード波動関数 $\psi_0(n) \propto (1,0,-t,0,t^2,0,-t^3,\dots)$ と整合する。ここで $t = C_1/C_2$ である。
• コンデンサ $C_1 < C_2$ の場合、ゼロモードエッジ状態に起因するインピーダンスピークが共鳴的に現れる。一方、$C_1 > C_2$ の場合、そのような共鳴は観測されず、トポロジカル位相遷移が確認される。
• アドミittance固有モードが境界に局在し、$j_n$ が小さい場合、インピーダンス $Z_{ab}$ が発散する。これは、回路実装におけるトポロジカル保護を裏付ける。

Figure 2: Berry phase in the space of free parameters of the periodic $N,i$ -super-SSH model for Case I with $w=1.0$ , $v^{\prime}=w^{\prime}$ and for different values of $N$ .