[論文レビュー] Improved Approximation Algorithms for Stochastic Matching

Marek Adamczyk, Fabrizio Grandoni+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Organ Donation and Transplantation被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、エッジが確率的になく、ノードにプローブ試行回数の制限（タイムアウト）があるstochastic matching問題に対する、改善された近似アルゴリズムを提示する。エッジの確率に基づいた非一様なランダムプローブ順序を導入し、LPの丸め処理と適応的サンプリングを組み合わせることで、二部グラフでは2.845-近似、一般グラフでは3.709-近似を達成し、それぞれ従来の3と4の境界を顕著に上回る。オンライン二部グラフ設定では4.07-近似を達成し、従来の7.92の境界を改善する。

ABSTRACT

In this paper we consider the Stochastic Matching problem, which is motivated by applications in kidney exchange and online dating. We are given an undirected graph in which every edge is assigned a probability of existence and a positive profit, and each node is assigned a positive integer called timeout. We know whether an edge exists or not only after probing it. On this random graph we are executing a process, which one-by-one probes the edges and gradually constructs a matching. The process is constrained in two ways: once an edge is taken it cannot be removed from the matching, and the timeout of node $v$ upper-bounds the number of edges incident to $v$ that can be probed. The goal is to maximize the expected profit of the constructed matching. For this problem Bansal et al. (Algorithmica 2012) provided a $3$-approximation algorithm for bipartite graphs, and a $4$-approximation for general graphs. In this work we improve the approximation factors to $2.845$ and $3.709$, respectively. We also consider an online version of the bipartite case, where one side of the partition arrives node by node, and each time a node $b$ arrives we have to decide which edges incident to $b$ we want to probe, and in which order. Here we present a $4.07$-approximation, improving on the $7.92$-approximation of Bansal et al. The main technical ingredient in our result is a novel way of probing edges according to a random but non-uniform permutation. Patching this method with an algorithm that works best for large probability edges (plus some additional ideas) leads to our improved approximation factors.

研究の動機と目的

• ノードのタイムアウト制約下でのstochastic matching問題に対するより良い近似アルゴリズムの開発。
• Bansalらによって確立された二部グラフにおける3-近似と一般グラフにおける4-近似を改善すること。
• 時間制限付きのアイテムプローブとランダムな買い手の到着を伴うオンラインstochastic matching問題に対処すること。
• ノード固有のプローブ制限を尊重しながら期待利益を最大化するプローブ戦略の設計。
• 非一様なランダム順列とLPに基づく丸め処理を用いて、エッジプローブ確率の分析を精緻化すること。

提案手法

• 個々のエッジの確率に基づいて優先順位を付ける非一様なランダムエッジプローブ順序を導入し、最大の隣接エッジ確率ではなくエッジ固有の確率に依存する。
• 分数解をモデル化するためのLP緩和を用い、プローブプロセスをガイドする丸め処理を適用する。
• 非一様プローブ戦略と二段階戦略を組み合わせる：高確率エッジは別個に処理し、プローブの可能性を制御するためのダンピング要因を導入する。
• 指数分布確率変数を用いて到着プロセスをモデル化し、ランダムな買い手順をシミュレートし、エッジがブロックされない確率を計算する。
• 指数分布変数の独立性と無記憶性を用いて、エッジがプローブされかつブロックされない確率の下界を導出する。
• 積不等式と積分バウンディングを適用し、LP解に基づいて期待利益の下界を導出し、定数倍近似を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様なランダム順序ではなく、非一様なランダムプローブ順序を用いることで、stochastic matchingの近似比を一様順序を超えて向上させられるか？
• RQ2 タイムアウト制約下で、高確率と低確率エッジのプローブをどのようにバランスさせるべきか、期待利益を最大化する最適な方法は何か？
• RQ3 既存の7.92-近似よりも、ランダムな買い手到着を伴うオンラインstochastic matching問題をより効果的に近似できるか？
• RQ4 無記憶到着モデルと指数分布確率変数を用いることで、エッジプローブ成功の分析を厳密にできるか？
• RQ5 タイムアウトと確率的エッジ制約下で、一般グラフおよび二部グラフのstochastic matchingに対して達成可能な最良の近似要因は何か？

主な発見

• 本稿では、二部グラフにおけるstochastic matchingに対して2.845-近似を達成し、従来の3-近似を改善した。
• 一般グラフでは、提案されたアルゴリズムが3.709-近似を達成し、従来の4-近似を上回った。
• オンライン二部グラフ設定では、4.07-近似を達成し、従来の7.92-近似を顕著に改善した。
• 主な改善要因は、最大隣接エッジ確率ではなくエッジ確率 $ p_e $ に依存する非一様プローブ順序である。
• 解析により、各エッジ $ e $ が確率 $ x_e imes rac{e-1}{3e-1} $ 以上でプローブされると示され、これは $ rac{1}{4.16}x_e $ を上回るため、よりタイトなバウンディングが可能となった。
• 非一様プローブ戦略と二段階戦略を組み合わせることで、オンライン設定で4.07-近似を達成し、$ 4.16^{-1} $ に限りなく近づける可能性を示した。