[論文レビュー] J-class operators and hypercyclicity

George Costakis, Antonios Manoussos|ArXiv.org|Apr 25, 2007

Holomorphic and Operator TheoryMathematics参考文献 29被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間上の線形作用素の新クラスであるJ-クラス作用素を導入する。これは、特定のベクトルの周囲における力学的挙動を局所化することで、超循環性を一般化する。あるxに対してJ(x) = Xが成り立つ場合、特定の条件下で超循環性が保証され、非可分空間（例：$ l^∞(\mathbb{N}) $）でさえJ-クラス作用素が存在することを示し、可分空間に限らない線形力学の枠組みを拡張する。

ABSTRACT

The purpose of the present work is to treat a new notion related to linear dynamics, which can be viewed as a "localization" of the notion of hypercyclicity. In particular, let $T$ be a bounded linear operator acting on a Banach space $X$ and let $x$ be a non-zero vector in $X$ such that for every open neighborhood $U\subset X$ of $x$ and every non-empty open set $V\subset X$ there exists a positive integer $n$ such that $T^{n}U\cap V eq\emptyset$. In this case $T$ will be called a $J$-class operator. We investigate the class of operators satisfying the above property and provide various examples. It is worthwhile to mention that many results from the theory of hypercyclic operators have their analogues in this setting. For example we establish results related to the Bourdon-Feldman theorem and we characterize the $J$-class weighted shifts. We would also like to stress that even non-separable Banach spaces which do not support topologically transitive operators, as for example $l^{\infty}(\mathbb{N})$, do admit $J$-class operators.

研究の動機と目的

• 超循環性の一般化としてJ-クラス作用素を導入し、特にベクトルの周囲における局所的力学的挙動に焦点を当てる体系的考察を行う。
• J(x) = X が成り立つ条件、特にBourdon-Feldman定理との関連において、超循環性が成立する条件を調査する。
• $ l^2(\mathbb{N}) $ および $ l^2(\mathbb{Z}) $ におけるJ-クラス重み付きシフトを特徴付け、超循環性とJ-クラス性の同値性を示す。
• 非可分バナッハ空間（例：$ l^∞(\mathbb{N}) $）がJ-クラス作用素を有することを示し、トポロジカルに推移的でない作用素とは対照的に、それらが存在することを示す。
• スペクトル的性質、普遍性、作用素のJ-クラス成分への分解に関する未解決問題を提示する。

提案手法

• ベクトル $ x_n \to x $ のもとで $ T^{k_n}x_n $ のすべての極限点の集合としてJ-集合 $ J(x) $ を定義し、再帰的軌道の概念を一般化する。
• トポロジカルな推移性と軌道の稠密性の議論を用いて、J-集合と超循環性の関係を調べ、特に $ J(x)^o \neq \emptyset $ という条件を用いる。
• Salasによる単一および二重の重み付きシフトの超循環性特徴付けを応用し、重み積の増大度とJ-クラス性との関係を確立する。
• $ l^∞(\mathbb{N}) $ 上に明示的なJ-クラス作用素の例を構成し、超循環作用素が存在しない場合でさえJ-クラス作用素が存在することを示す。
• 重み付きシフトに対して、$ J(x) = X $ が成り立つのは $ T $ が超循環であるときに限ることを、重み列の漸近的挙動を用いて証明する。
• $ l^2 $ および $ l^∞ $ における逐次収束とノルム推定を用いて、J-集合の閉包および内部を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間内のベクトル $ x $ に対して、$ J(x)^o \neq \emptyset $ ならば $ J(x) = X $ が成り立つか？
• RQ2 すべての非可分な無限次元バナッハ空間が、トポロジカルに推移的でない作用素が存在する場合でもJ-クラス作用素を有するか？
• RQ3 ヒルバート空間上でのJ-クラス作用素の集合の閉包のスペクトル的特徴付けは存在するか？
• RQ4 $ X $ のすべての $ x \in X $ に対して $ J(x)^o \neq \emptyset $ ならば、可分バナッハ空間上での $ T $ は超循環的であるか？
• RQ5 $ l^\infty(\mathbb{N}) $ 上の任意の有界線形作用素が、2つのJ-クラス作用素の和として書けるか？

主な発見

• バナッハ空間上の有界線形作用素 $ T $ が超循環的であることは、$ J(x) = X $ を満たす循環的ベクトル $ x $ が存在することと同値である。
• 空間 $ l^2(\mathbb{N}) $ 上の単一重み付きシフト $ T $ に対して、$ T $ が超循環的であることは、非ゼロの $ x $ に対して $ J(x) = l^2(\mathbb{N}) $ が成り立つことと同値であり、これは $ J(x)^o \neq \emptyset $ であることとも同値である。
• 空間 $ l^2(\mathbb{Z}) $ 上の二重重み付きシフト $ T $ に対して、$ T $ が超循環的であることは $ J(x) = l^2(\mathbb{Z}) $ が成り立つことと同値であり、$ J(x) $ の内部についても同様の同値性が成り立つ。
• $ l^\infty(\mathbb{N}) $ はトポロジカルに推移的でない作用素を有さないが、命題5.2によりJ-クラス作用素を有することが示された。
• $ J(x)^o \neq \emptyset $ であるベクトル $ x $ が存在するならば、$ T $ は超循環的であることが、シフト例における重み積の発散を用いて示された。
• J-クラス性は超循環性よりも厳密に弱い性質であり、超循環的でないJ-クラス作用素が存在するが、それらは重要な力学的特徴を共有する。