[論文レビュー] Learning Quantum Processes and Hamiltonians via the Pauli Transfer Matrix

C. Matthias|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 76被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子メモリを活用して、n量子ビットのチャネルのパウリ転送行列（PTM）をnに線形に比例する数のコピーで効率的に再構築することにより、未知の量子プロセスを学習する際の指数的量子優位性を確立する。この手法により、パウリスパースな観測量および任意の有界な観測量（PTMがスパースな場合）の期待値を効率的に予測可能であり、適応戦略を用いても指数的多くのクエリを必要とする古典的学習者を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

Learning about physical systems from quantum-enhanced experiments, relying on a quantum memory and quantum processing, can outperform learning from experiments in which only classical memory and processing are available. Whereas quantum advantages have been established for a variety of state learning tasks, quantum process learning allows for comparable advantages only with a careful problem formulation and is less understood. We establish an exponential quantum advantage for learning an unknown $n$-qubit quantum process $\mathcal{N}$. We show that a quantum memory allows to efficiently solve the following tasks: (a) learning the Pauli transfer matrix of an arbitrary $\mathcal{N}$, (b) predicting expectation values of bounded Pauli-sparse observables measured on the output of an arbitrary $\mathcal{N}$ upon input of a Pauli-sparse state, and (c) predicting expectation values of arbitrary bounded observables measured on the output of an unknown $\mathcal{N}$ with sparse Pauli transfer matrix upon input of an arbitrary state. With quantum memory, these tasks can be solved using linearly-in-$n$ many copies of the Choi state of $\mathcal{N}$, and even time-efficiently in the case of (b). In contrast, any learner without quantum memory requires exponentially-in-$n$ many queries, even when querying $\mathcal{N}$ on subsystems of adaptively chosen states and performing adaptively chosen measurements. In proving this separation, we extend existing shadow tomography upper and lower bounds from states to channels via the Choi-Jamiolkowski isomorphism. Moreover, we combine Pauli transfer matrix learning with polynomial interpolation techniques to develop a procedure for learning arbitrary Hamiltonians, which may have non-local all-to-all interactions, from short-time dynamics. Our results highlight the power of quantum-enhanced experiments for learning highly complex quantum dynamics.

研究の動機と目的

• 適応戦略を用いても古典的学習者では達成できない、量子プロセス学習における根本的な量子優位性を同定すること。
• 量子メモリが任意のn量子ビット量子チャネルのパウリ転送行列（PTM）を効率的に学習可能であることを示すこと。
• PTMがスパースな場合に限り、出力状態における有界な観測量の期待値を予測するという優位性を拡張すること。
• PTM学習をサブラウチンとして用いて、局所性や構造的仮定なしに任意のハミルトニアンを短時間ユニタリダイナミクスから学習する手法を開発すること。

提案手法

• 量子チャネルを状態（チョイ状態）に写像するチョイ＝ジャミオルコフスキー同型を用い、量子メモリを活用した量子強化学習を可能にする。
• 量子プロセストモグラフィー技術を適用し、チョイ状態の線形数のコピーを用いて、未知のチャネルのパウリ転送行列（PTM）を再構築する。
• 期待値の時間微分推定値に対する多項式補間を用いて、短時間ユニタリ発展からハミルトニアンのパウリ係数を抽出する。
• チェビシェフ多項式補間を用いて、t=0における観測量の時間微分を推定し、それがハミルトニアンのパウリ係数に対応することを利用する。
• PTM学習と微分推定を組み合わせることで、有界な誤差と高い確率で古典的記述に基づくハミルトニアン学習を効率的に実現する。
• チャネルへの並列アクセスを用い、精度とシステムサイズに基づいて総合的な発展時間とクエリ数を最適化することで、クエリ効率を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子強化実験は、適応戦略を用いる古典的学習者と比較して、未知の量子プロセス学習において指数的優位性を達成できるか？
• RQ2 量子メモリを用いた場合、任意のn量子ビットチャネルのパウリ転送行列（PTM）を効率的に学習可能であり、古典的手法と比較してクエリ複雑度はどの程度か？
• RQ3 PTMがスパースな場合に、PTM学習プロトコルを任意の有界な観測量の出力期待値予測に拡張可能か？
• RQ4 PTM学習をサブラウチンとして用いて、構造的仮定なしに非局所的ハミルトニアンを短時間ダイナミクスから学習可能か？
• RQ5 ユニタリダイナミクスからの微分推定によるハミルトニアン係数の学習におけるクエリ複雑度と時間複雑度は何か？また、システムサイズと精度に従ってどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 量子メモリにアクセスする量子学習者であれば、任意のn量子ビットチャネルの完全なパウリ転送行列（PTM）を、そのチョイ状態のO(n)個のコピーのみで学習可能であり、nに線形スケーリングを達成する。
• これに対して、量子メモリを持たないいかなる古典的学習者であっても、適応的入力状態準備と測定戦略を用いても、nに指数的に比例するクエリを必要とする。
• 本手法により、入力状態がパウリスパースな場合に限り、チャネル出力における有界なパウリスパース観測量の期待値を効率的に予測可能であり、時間的にも効率的な実装が可能である。
• PTMがスパースなチャネルに対しては、任意の入力状態における任意の有界な観測量の期待値を効率的に予測可能である。
• PTM学習と多項式補間を組み合わせることで、任意のハミルトニアンを短時間ダイナミクスから学習する手順を開発し、O~(n²/ε⁴)の古典的メモリとO~(n/ε⁴)のクエリでℓ∞-ノルム精度を達成する。
• この手順はハミルトニアンの作用素ノルムにスケーリングし、局所性やスパarsityなどの構造的仮定は必要とせず、すべての相互作用を持つハミルトニアンの学習が可能である。