[論文レビュー] Lectures on AKSZ Topological Field Theories for Physicists

Noriaki Ikeda|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 134被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、バタリン＝ヴィルコヴィチ形式、超幾何学、L∞-代数的群を用いて、既知のトポロジカル場理論（TFT）であるポアソンσ模型を一般化する、トポロジカル場理論（TFT）の統一的数学的枠組みとしてのAKSZ構成を導入する。主な結果として、ポアソンσ模型の明示的量子化が得られる。

ABSTRACT

This lecture provides an introductory review about topological field theories (TFT) called AKSZ type. The AKSZ construction is mathematical formulation to unify a large class of TFTs, inspired by the Batalin-Vilkovisky formalism of gauge theories. As an example, we start a simple topological field theory in two dimensions and explain ideas of the AKSZ construction. The construction in the example is generalized and led to a mathematical formulation of a general TFT called the AKSZ construction. Typical examples of AKSZ TFTs are listed including known and new TFTs. Mathematical ingredients for analysis of general gauge structures, algebroids, supergeometry, etc. are introduced. The quantization of the Poisson sigma model is explained as an example of quantizations.

研究の動機と目的

• 物理学者向けにAKSZトポロジカル場理論を自己完結的に紹介すること。
• バタリン＝ヴィルコヴィチ形式にインspiredされた単一の数学的構成によって、広範なTFTのクラスを統一すること。
• 一般TFTを解析するための基本的数学的道具（L∞-代数的群、超幾何学、ゲージ構造）を導入すること。
• 2次元トポロジカル場理論およびポアソンσ模型を含む明示的例を通じて、構成を示すこと。
• AKSZ枠組みへの応用として、ポアソンσ模型の量子化を説明すること。

提案手法

• ゲージ理論の基礎としてバタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）形式を用い、AKSZ構成の動機を提示する。
• 超幾何学と次数付き多様体を用いて、導来幾何と次数付きシンプレクティック構造に基づくAKSZ作用を定式化する。
• 通常のリー代数的群を超える一般化を実現するため、L∞-代数的群を基本幾何的構造として用いる。
• 源多様体から標的超多様体への写像の空間に、導来シンプレクティック構造を適用してAKSZ作用を構成する。
• AKSZ作用から古典的運動方程式およびBRST対称性を導出し、位相的不変性を保証する。
• 枠組みをポアソンσ模型に適用し、それがAKSZ TFTとして実現されることを示し、その量子化手順を概説する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 広範なトポロジカル場理論のクラスを、単一の数学的構成によって体系的に統一することは可能か？
• RQ2 超幾何学とL∞-代数的群は、ゲージ理論をトポロジカル場理論へ一般化する上で、どのような役割を果たすか？
• RQ3 AKSZ構成は、ポアソンσ模型や他の既知のTFTをどのように一般化するか？
• RQ4 AKSZ TFTを定義・解析するために必要な主要な幾何学的・代数的要素は何か？
• RQ5 ポアソンσ模型は、AKSZ枠組み内で一貫してどのように量子化可能か？

主な発見

• AKSZ構成は、次数付きシンプレクティック幾何とL∞-代数的群を用いた、トポロジカル場理論を構成する普遍的枠組みを提供する。
• ポアソンσ模型はAKSZ TFTとして実現され、その位相的性質が確認され、体系的な量子化が可能になる。
• BV形式がAKSZ構成の背後にあり、ゲージ対称性と異常項の整合性を保証する。
• 同一の幾何的言語を用いて、チェーン＝シモンズ理論やBF理論といった既知のTFTが統一的に一般化される。
• 超多様体と導来幾何の使用により、TFTにおける高次のゲージ構造の自然な記述が可能になる。
• ポアソンσ模型の量子化がAKSZ枠組みを通じて達成され、物理的モデルへの応用可能性が示された。