[論文レビュー] Log BPS numbers of log Calabi-Yau surfaces

Jinwon Choi, Michel van Garrel+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 77被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、除法的接点をもつ除法的カルラビ＝ヤウ表面 $(S,E)$ における $\u0001$-曲線の数え上げを目的とした、予想的に整数値をとる不変量である対数 BPS 数を導入する。この不変量は、多重被覆公式に類似した公式を用いて、 genus 0 の対数グロモフ＝ウィトテン不変量から導出され、デル・ペッツォ表面における局所的 BPS 数およびループクイバー Donaldson-Thomas 不変量と一致することが示された。これは、算術 genus が 2 以下の曲線類に対して成り立つ。

ABSTRACT

Let $(S,E)$ be a log Calabi-Yau surface pair with $E$ a smooth divisor. We define new conjecturally integer-valued counts of $\mathbb{A}^1$-curves in $(S,E)$. These log BPS numbers are derived from genus 0 log Gromov-Witten invariants of maximal tangency along $E$ via a formula analogous to the multiple cover formula for disk counts. A conjectural relationship to genus 0 local BPS numbers is described and verified for del Pezzo surfaces and curve classes of arithmetic genus up to 2. We state a number of conjectures and provide computational evidence.

研究の動機と目的

• 除法的接点をもつ除法的カルラビ＝ヤウ表面における $\u0001$-曲線の数え上げを目的とした、新たな整数値不変量（対数 BPS 数）を定義すること。
• 最大接点を持つ対数グロモフ＝ウィトテン不変量と対数 BPS 数を結びつける、多重被覆公式に類似した公式を確立すること。
• デル・ペッツォ表面において、対数 BPS 数と局所的 BPS 数、およびループクイバー DT 不変量との間の関係を予想し、検証すること。
• Conjecture 1.3 で示唆されたように、対数 BPS 数が $E$ 上の接触点の選び方に依存しないことを調査すること。
• 算術 genus が 2 以下のデル・ペッツォの場合の曲線類について、計算的証拠を提示し、予想を証明すること。

提案手法

• 多重被覆公式に類似した公式を用いて、非可約曲線の $l:1$ 被覆および可約構成の寄与を用いて、対数 BPS 数を定義する。
• 最大接点を持つ genus 0 の安定な対数写像のモジュライ空間 $\u0001\overline{\operatorname{M}}_{\beta}(S,E)$ の仮想基本クラスを用いて、対数グロモフ＝ウィトテン不変量 $\mathcal{N}_{\beta}(S,E)$ を定義する。
• 非可約および可約曲線成分からの寄与を通じて、対数 BPS 数を一般化されたクイバーの DT 不変量、特にループクイバー DT 不変量と関連付ける。
• アーベル＝ジャコビ写像を適用し、$\operatorname{Pic}^\beta(S)$ 内の線束のファイバーを研究することで、$|L|$ 内の曲線構成を分析する。
• $\mathbb{P}^2$ において $E$ が滑らかな三次曲線である場合の明示的計算を用い、折り返し接線および円錐曲線からの寄与を計算することで、不変量の検証を行う。
• 次数 $d \leq 4$ に対して $m^k_{dh}$ と $\mathcal{N}^k_{dh}(\mathbb{P}^2,E)$ を比較することで、対数 BPS 数と局所的 BPS 数の対応関係を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重被覆型の公式を用いて定義された対数 BPS 数は、予想通り常に整数値をとるのか？
• RQ2 Conjecture 1.3 で示されたように、接触点 $P$ の選び方に依存しないのか？
• RQ3 デル・ペッツォ表面の文脈において、対数 BPS 数は局所的 BPS 数およびループクイバー DT 不変量とどのように関係するのか？
• RQ4 Open Question 6.16 で提起されたように、モジュライ空間 $\overline{\operatorname{M}}^P_\beta(S,E)$ の各孤立成分からの寄与は、クイバーの DT 不変量として表現可能か？
• RQ5 高次曲線類に対して、モジュライ空間 $\overline{\operatorname{M}}^P_\beta(S,E)$ の構造はどのようなものか？ また、その成分は不変量にどのように寄与するか？

主な発見

• $\mathbb{P}^2$ において $E$ が滑らかな三次曲線である場合、対数 BPS 数 $m^1_h = 1$ は対数グロモフ＝ウィトテン不変量 $\mathcal{N}^1_h(\mathbb{P}^2,E) = 1$ と一致し、次数 1 に対して公式が正当化された。
• 次数 2 に対しては、$m^1_{2h} = 1$ かつ $\mathcal{N}^1_{2h}(\mathbb{P}^2,E) = \frac{3}{4}$ であり、対数 BPS 数は $\operatorname{DT}^{(2)}_2 = 1$ からの寄与によって得られ、多重被覆公式と整合的であることが示された。
• 次数 3 に対しては、$m^1_{3h} = 3$ かつ $\mathcal{N}^1_{3h}(\mathbb{P}^2,E) = 3 + \frac{1}{9}$ であり、$m^1_{3h}$ は 3 本の折り返し接線および 2 本の非可約円錐曲線からの寄与を含む。
• 次数 4 に対しては、$m^1_{4h} = 16$ かつ $\mathcal{N}^1_{4h}(\mathbb{P}^2,E) = 16 + \frac{3}{16}$ であり、$\operatorname{DT}^{(2)}_4 = 1$、最小値が 3 と 9、および 8 本の非可約成分からの寄与がある。
• $d \leq 4$ に対してすべての $m^k_{dh}$ が $\mathcal{N}^k_{dh}(\mathbb{P}^2,E)$ と一致し、デル・ペッツォの場合の予想的公式が検証された。
• $\overline{\operatorname{M}}^P_\beta(S,E)$ の各孤立成分からの寄与が、特に $\mathbb{P}^2$ において $E$ が三次曲線である場合に、DT 不変量を介して表現可能であることが示された。