[論文レビュー] Maximizing Submodular Functions with the Diminishing Return Property over the Integer Lattice.

Tasuku Soma, Yuichi Yoshida|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、基数制約、多様体制約、ナップサック制約の下で、非負かつ単調な部分集合関数を整数格子上で最大化する近似アルゴリズムを提示する。連続的拡張をユークリッド空間へ適用し、連続的グリーディー法を用いる。n、ϵ、r、wに依存するクエリ複雑性を伴い、(1−1/e−ϵ)-近似を達成する。

ABSTRACT

The problem of maximizing non-negative monotone submodular functions under a certain constraint has been intensively studied in the last decade. In this paper, we address the problem for functions defined over the integer lattice. Suppose that a non-negative monotone submodular function $f:\mathbb{Z}_+^n o \mathbb{R}_+$ is given via an evaluation oracle. Furthermore, we assume that $f$ satisfies the diminishing return property, which is not an immediate consequence of the submodularity when the domain is the integer lattice. Then, we show (i) a $(1-1/e-\epsilon)$-approximation algorithm for a cardinality constraint with $\widetilde{O}(\frac{n}{\epsilon}\log \frac{r}{\epsilon})$ queries, where $r$ is the maximum cardinality of feasible solutions, (ii) a $(1-1/e-\epsilon)$-approximation algorithm for a polymatroid constraint with $\widetilde{O}(\frac{nr}{\epsilon^4}+n^6)$ queries, where $r$ is the rank of the polymatroid, and (iii) a $(1-1/e-\epsilon)$-approximation algorithm for a knapsack constraint with $\widetilde{O}(\frac{n^2}{\epsilon^{18}}\log \frac{1}{w})(\frac{1}{\epsilon})^{O(1/\epsilon^8)}$ queries, where $w$ is the minumum weight of elements. Our algorithms for polymatroid constraints and knapsack constraints first extend the domain of the objective function to the Euclidean space and then run the continuous greedy algorithm. We give two different kinds of continuous extensions, one is for knapsack constraints and the other is for polymatroid constraints, which might be of independent interest.

研究の動機と目的

• 非負かつ単調な部分集合関数を、さまざまな制約の下で整数格子上で最大化する問題に対処すること。
• 部分集合関数の減少報酬性（diminishing return）が整数格子設定においてはサブモジュラリティによっては保証されないことを示し、これを明示的な条件として仮定すること。
• 基数制約、多様体制約、ナップサック制約に対して、理論的保証が得られる効率的な近似アルゴリズムを設計すること。
• 各制約タイプに特化した新しい連続的拡張を用いて、関数定義域をユークリッド空間へ拡張すること。
• (1−1/e−ϵ)-近似を達成し、n、ϵ、r、wに応じて効率的にスケーリングするクエリ複雑性を実現すること。

提案手法

• 本稿は、多様体制約とナップサック制約の両方に対して、部分集合関数をユークリッド空間へ拡張する2つの異なる連続的拡張を導入する。
• 拡張された連続関数に対して連続的グリーディー法を適用し、分数解を得る。
• アルゴリズムは評価オракルを用いて関数値をクエリし、勾配に基づく更新を繰り返し行い、解を段階的に改善する。
• 基数制約の場合、O~(n/ϵ log(r/ϵ)) クエリで近似が達成される。
• 多様体制約の場合、O~(nr/ϵ⁴ + n⁶) クエリを用い、減少報酬性を保つ連続的拡張が用いられる。
• ナップサック制約の場合、特化した連続的拡張が採用され、O~(n²/ϵ¹⁸ log(1/w))(1/ϵ)^{O(1/ϵ⁸)} クエリが達成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n および ϵ に関してサブ線形なクエリ複雑性を伴い、基数制約の下で整数格子上での部分集合関数最大化に対して (1−1/e−ϵ)-近似を達成できるか。
• RQ2 適切な連続的拡張を用いて、多様体制約の下で整数格子上での連続的グリーディー法をどのように拡張できるか。
• RQ3 ナップサック制約付きの整数格子上での部分集合関数最大化において、(1−1/e−ϵ)-近似を達成するためのクエリ複雑性は何か。
• RQ4 ナップサックおよび多様体設定において、減少報酬性を保つように、整数格子上での部分集合関数に対する連続的拡張を定義できるか。
• RQ5 減少報酬性を明示的に仮定した場合、異なる整数格子制約の下での部分集合関数最大化の理論的クエリ複雑性の上限は何か。

主な発見

• 基数制約の下で、Õ(n/ϵ log(r/ϵ)) クエリを用いて (1−1/e−ϵ)-近似アルゴリズムが達成された。
• 多様体制約の下で、Õ(nr/ϵ⁴ + n⁶) クエリを用いて (1−1/e−ϵ)-近似が達成された。
• ナップサック制約の下で、Õ(n²/ϵ¹⁸ log(1/w))(1/ϵ)^{O(1/ϵ⁸)} クエリを用いて (1−1/e−ϵ)-近似が達成された。
• 本稿は、多様体制約用とナップサック制約用の2つの新しい連続的拡張を導入し、それぞれが減少報酬性を保っている。
• 連続的拡張により、整数格子設定への連続的グリーディー法の適用が可能となり、理論的保証が得られた。
• 結果から、整数格子設定において減少報酬性はサブモジュラリティとは独立して必要かつ非自明な仮定であることが示された。