[論文レビュー] New series for powers of $\pi$ and related congruences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 46被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般化中心3項係数 $T_k(b,c)$ を用いて中心2項係数および3項係数を一般化し、記号計算を用いて $\pi$ の累乗に対する97個の新しいラマヌジャン型級数を提示する。主な貢献は、$p$-進合同式を通じた $1/\pi$ の有理ラマヌジャン型級数の新しい特徴付けであり、これにより117個の新しい予想級数が得られ、類数8の虚二次体を含む例が含まれる。

ABSTRACT

Via symbolic computation we deduce 97 new type series for powers of $\\pi$ related to Ramanujan-type series. Here are three typical examples: $$\\sum_{k=0}^\\infty \\frac{P(k) \\binom{2k}k\\binom{3k}k \\binom{6k}{3k}}{(k+1)(2k-1)(6k-1)(-640320)^{3k}} =\\frac{18\ imes557403^3\\sqrt{10005}}{5\\pi}$$ with \\begin{align*}P(k) = &637379600041024803108 k^2 + 657229991696087780968 k \\\\&+ 19850391655004126179, \\end{align*} $$\\sum_{k=1}^\\infty \\frac{(3k+1)16^k}{(2k+1)^2k^3\\binom{2k}k^3} = \\frac{\\pi^2-8}2,$$ and $$\\sum_{n=0}^\\infty\\frac{3n+1}{(-100)^n} \\sum_{k=0}^n{n\\choose k}^2T_k(1,25)T_{n-k}(1,25) = \\frac{25}{8\\pi},$$ where the generalized central trinomial coefficient $T_k(b,c)$ denotes the coefficient of $x^k$ in the expansion of $(x^2+bx+c)^k$. We also formulate a general characterization of rational Ramanujan-type series for $1/\\pi$ via congruences, and pose 117 new conjectural series for powers of $\\pi$ via looking for corresponding congruences. For example, we conjecture that $$\\sum_{k=0}^\\infty\\frac{39480k+7321}{(-29700)^k}T_k(14,1)T_k(11,-11)^2=\\frac{6795\\sqrt5}{\\pi}.$$ Eighteen of the new series in this paper involve some imaginary quadratic fields with class number $8$.

研究の動機と目的

• 一般化中心3項係数 $T_k(b,c)$ を用いて $\pi$ の累乗に対する新しいラマヌジャン型級数を導出すること。
• $p$-進合同式を用いて $1/\pi$ の有理ラマヌジャン型級数の一般的特徴付けを確立すること。
• 対応する $p$-進合同式を特定することにより、$\pi$ の累乗に対する117個の新しい予想級数を提示すること。
• ラマヌジャン型級数、2項係数、および二次形式の間の関係を調査すること。
• 従来のラマヌジャン型級数の $p$-進類似を一般化3項係数および新しい級数型に拡張すること。

提案手法

• 記号計算を用いて、$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{P(k) \binom{2k}{k} \binom{3k}{k} \binom{6k}{3k}}{(k+1)(2k-1)(6k-1)(-640320)^{3k}} = \frac{18 \times 557403^3 \sqrt{10005}}{5\pi}$ の形の新しい級数を導出する。ここで $P(k)$ は2次多項式である。
• 一般化中心3項係数 $T_k(b,c)$ を、$(x^2 + bx + c)^k$ における $x^k$ の係数として定義し、中心2項係数および3項係数を一般化する。
• $p$-進合同式 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{bk+c}{m^k} a(k) \equiv cp \left(\frac{\varepsilon_d d}{p}\right) \pmod{p^3}$ を用いて、有理ラマヌジャン型級数を特徴付ける。
• ラプラス＝ヘインの漸近公式およびルジャンドル多項式の性質を用いて、$T_k(b,c)$ の成長および挙動を分析する。
• $ (n+1)T_{n+1}(b,c) = (2n+1)bT_n(b,c) - n(b^2 - 4c)T_{n-1}(b,c) $ の再帰関係を用いて、$T_k(b,c)$ を効率的に計算する。
• 観察された $p$-進パターンに基づいて予想を提示し、たとえば $p^2 \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(105k-44)T_{k-1}}{k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}} \equiv 11\left(\frac{p}{3}\right) \pmod{p^2}$ のような例を含め、それらを無限級数恒等式に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化中心3項係数 $T_k(b,c)$ を用いて、$\pi$ の累乗に対する新しいラマヌジャン型級数を体系的に導出可能か？
• RQ2 $1/\pi$ の有理ラマヌジャン型級数を特徴付ける一般の $p$-進合同式構造は何か？
• RQ3 記号計算を用いて $\pi$ 及びその累乗のための新しい級数を生成・検証する方法は何か？
• RQ4 ラマヌジャン型級数と虚二次体（特に類数8のもの）との関係は何か？
• RQ5 たとえば $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(105k-44)T_{k-1}}{k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}}$ のような特定の無限級数に対して、正確な閉形式を確立できるか？

主な発見

• 本稿では、$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{P(k) \binom{2k}{k} \binom{3k}{k} \binom{6k}{3k}}{(k+1)(2k-1)(6k-1)(-640320)^{3k}} = \frac{18 \times 557403^3 \sqrt{10005}}{5\pi}$ の形で、2次多項式 $P(k)$ を含む97個の新しいラマヌジャン型級数を導出する。
• 新規級数のうち18個は類数8の虚二次体を含み、深い算術的性質と関連している。
• ルジャンドル記号を含む $p$-進合同式を通じて、$1/\pi$ の有理ラマヌジャン型級数の一般的特徴付けを提示する。
• 予想10.1では正確な評価を提示：$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(105k-44)T_{k-1}}{k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}} = \frac{5\pi}{\sqrt{3}} + 6\log 3$ および $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(5k-2)T_{k-1}}{(k-1)k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}} = \frac{21 - 2\sqrt{3}\pi - 9\log 3}{12}$。
• 予想10.2では、これらの級数の部分和に対する $p$-進合同式を提示し、たとえば $p^2 \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(105k-44)T_{k-1}}{k^2 \binom{2k}{k}^2 3^{k-1}} \equiv 11\left(\frac{p}{3}\right) + \frac{p}{2}(13 - 35\left(\frac{p}{3}\right)) \pmod{p^2}$ のようにする。
• 本稿では、$\sum_{k=0}^{p-1} \frac{8k+3}{(-16)^k} \binom{2k}{k}^2 T_k(3,-4) \equiv p(1 + 2\left(\frac{-1}{p}\right)) \pmod{p^2}$ のような新しい $p$-進パターンと関連する予想を提示する。