[論文レビュー] Non-Hermitian topological phenomena: A review

Nobuyuki Ōkuma, Masatoshi Sato|arXiv (Cornell University)|May 20, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 5

ひとこと要約

本レビューは、非エルミート的トポロジー現象を検討し、バルク-境界対応と非エルミート的スキン効果（非エルミートハミルトニアンに起因する固有状態の境界への局在化）の相乗作用に焦点を当てる。非エルミート的トポロジーが新しい境界物理を規定することを確立し、特に一時的ダイナミクスにおける擬スペクトルの役割や、従来の対称性を超えた非エルミート系のトポロジカル分類といった重要な結果を示す。

ABSTRACT

The past decades have witnessed an explosion of interest in topological materials, and a lot of mathematical concepts have been introduced in condensed matter physics. Among them, the bulk-boundary correspondence is the central topic in topological physics, which has inspired researchers to focus on boundary physics. Recently, the concepts of topological phases have been extended to non-Hermitian Hamiltonians, whose eigenvalues can be complex. Besides the topology, non-Hermiticity can also cause a boundary phenomenon called the non-Hermitian skin effect, which is an extreme sensitivity of the spectrum to the boundary condition. In this article, we review developments in non-Hermitian topological physics by focusing mainly on the boundary problem. As well as the competition between non-Hermitian and topological boundary phenomena, we discuss the topological nature inherent in non-Hermiticity itself.

研究の動機と目的

• 格子系におけるトポロジカル境界状態と非エルミート的スキン効果の相乗作用を調査すること。
• 非エルミート的トポロジーが、エルミート的トポロジカル不変量に依存せずに独立して出現する仕組みを明確化すること。
• 非正規行列における擬スペクトルの役割を、極端に境界に敏感な系を含む一時的非正規ダイナミクスにおいて分析すること。
• 対称性の保護のない場合を含め、非エルミート系へのバルク-境界対応を拡張すること。
• 非エルミート的スペクトル現象とトポロジカル不変量、およびエルミート系における準ゼロモードを結びつけること。

提案手法

• オープン境界条件と周期的境界条件の下で非エルミート的スキン効果を示す代表的例として、ハタノ＝ネルソン模型を用いる。
• 虚数ゲージ変換を適用して、OBC下での非エルミートハミルトニアンをエルミート型に写像し、スペクトルを保存する。
• 非正規行列における一時的ダイナミクスを分析するための擬スペクトルの概念を導入し、スペクトルが安定性を予測できない場合に特に有効であることを示す。
• 類似変換とスペクトルマッピング技術を用いて、非エルミート固有状態と局在境界モードを関連付ける。
• ウィンディング数のようなトポロジカル不変量を用いて、標準的対称性が欠如する場合でさえも非エルミート系を分類する。
• 時間発展を調べる非エルミート的シュレーディンガー方程式を適用し、ダイナミクスの制御がスペクトルと擬スペクトルのどちらによって支配されるかを区別する。

Figure 1: (a) The PBC and OBC eigenspectrum of Hatano-Nelson model ( $t=1$ , $g=0.5$ ). (b) Right and left eigenstates of a Hermitian edge state and a non-Hermitian skin mode. (c) Brilloin zone (BZ) and generalized Brillouin zone (GBZ) for PBC and OBC spectra, respectively. We use $E(\beta)=\beta^{2

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルミート的スキン効果は、トポロジカル系における従来のバルク-境界対応をどのように破壊するか？
• RQ2 非エルミート的スキン効果のトポロジカル起源は何か？ そして、スペクトルや擬スペクトルとどのように関係するか？
• RQ3 非正規行列はどのような形で一時的増幅を引き起こし、開放量子系における安定性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 対称性の保護のない非エルミートハミルトニアンに、トポロジカル不変量をどのように一般化できるか？
• RQ5 電気回路実装を通じて観察される非エルミート系における最小絶対固有値の物理的意味は何か？

主な発見

• オープン境界条件の下では、類似変換のおかげでハタノ＝ネルソン模型が実スペクトル線を示すが、周期的境界条件では複素楕円形スペクトルを示す。
• 非エルミート的スキン効果により、すべての固有状態が一方の境界に局在化する。これは、境界に感度がなく、エルミート系では観察されない現象である。
• 非エルミートハミルトニアンの擬スペクトルが一時的ダイナミクスを支配し、最大虚部が負であっても増幅が可能であることを示す。
• スキン効果を示す系では、一時的時間は系サイズに比例し、鎖を横断する情報伝播のリーブ＝ロビンソン時間に対応する。
• 非エルミート的スキン効果は、エルミート的トポロジカル絶縁体における準ゼロモードと関連しており、非エルミート的およびエルミート的トポロジカル物理学の双対性を示唆する。
• 非正規系では、安定状態への緩和時間は常にスペクトルギャップによって決まるわけではないが、代わりに擬スペクトルによって決定され、リンドブラッドダイナミクスにおける逸脱を説明できる。

Figure 2: (a) Schematic picture of the PBC, SIBC, and OBC spectra in the presence of non-Hermitian skin effect. The disk with the dotted boundary is the SIBC spectrum under an imaginary gauge transformation $V_{r}$ . (b) Relationship between non-Hermitian topology and Hermitian topology.