[論文レビュー] On competition through growth reduction

Carles Barril, Àngel Calsina+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2023

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology ModelsMedicine被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、個体が他の同種個体よりも高いことで成長が抑制されるサイズ構造化集団モデルを検討し、光の遮断による競争をモデル化する。スカラーレニュアル方程式と遅延微分方程式を用いて、一般な条件下で一意の非自明な定常出生率の存在と安定性を証明し、結果を準線形PDE形式と結びつけ、線形化解析により安定性を確立する。

ABSTRACT

We consider a population organised hierarchically with respect to size in such a way that the growth rate of each individual depends only on the presence of larger individuals. As a concrete example one might think of a forest, in which the incidence of light on a tree (and hence how fast it grows) is affected by shading of taller trees. The model is formulated as a delay equation, more specifically a scalar renewal equation, for the population birth rate. After discussing the well-posedness of the model, we analyse how many stationary birth rates the equation can have in terms of the functional parameters of the model. In particular we show that, under reasonable and rather general assumptions, only one stationary birth rate can exist besides the trivial one (associated to the state in which there are no individuals and the population birth rate is zero). We give conditions for this non-trivial stationary birth rate to exist and we analyse its stability using the principle of linearised stability for delay equations. Finally we relate the results to an alternative formulation of the model taking the form of a quasilinear partial differential equation for the population size-density.

研究の動機と目的

• 成長が大きな個体によって抑制される集団動態をモデル化すること。森林における光競争を動機としている。
• このようなシステムにおける非ゼロの定常出生率の存在と安定性を分析すること。
• 遅延方程式の定式化と、集団密度の準線形PDEモデルとの間の対応関係を確立すること。
• 線形化安定性理論を適用して、非自明な定常状態が局所的漸近的に安定であるための条件を同定すること。

提案手法

• 成長率がより高い個体の数に依存する、集団出生率に関するスカラー非線形レニュアル方程式としてモデルを定式化する。
• 遮断効果を表す相互作用変数 $ E(x,t) = \int_x^\infty u(s,t)\,ds $ を導入し、$ x $ よりも高い個体による累積的遮蔽効果を表す。
• 遅延微分方程式を用いてシステムを解析し、定常状態まわりの線形化安定性のための特性方程式を導出する。
• 遅延方程式の線形化安定性の原則を適用して、非自明な定常出生率の安定性を特定する。
• 非局所的フィードバックを $ E(x,t) $ を通じて組み込んだ、集団サイズ密度の等価な準線形一次PDE定式化を導出する。
• PDEにおける非自明な定常密度の条件と、遅延定式化における非自明な定常出生率の条件との間の同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 成長が大きな個体によって抑制される集団において、非自明な定常出生率が存在する条件は何か？
• RQ2 自明な（ゼロの）出生率の安定性は、ゼロ集団における網羅的再生数 $ R(0) $ にどのように依存するか？
• RQ3 同じ集団モデルについて、遅延方程式定式化と準線形PDE定式化との間の関係は何か？
• RQ4 非自明な定常状態の安定性は、遅延方程式の線形化解析によって特定できるか？
• RQ5 関数的パラメータ（生育率 $ \beta(x) $、成長率 $ g(E) $、死亡率 $ \mu $）は、平衡解の存在と安定性にどのように影響するか？

主な発見

• 一般的かつ現実的な仮定のもとで、モデルは自明なゼロ解に加え、非自明な定常出生率が高々一つしか持たない。
• 非自明な定常出生率が存在するのは、ゼロ集団における網羅的再生数 $ R(0) = \int_{x_m}^\infty \frac{\beta(x)}{g(0)} e^{-\frac{\mu}{g(0)}(x-x_m)}\,dx $ が1を超えるときである。
• 自明な定常状態は、それが唯一の定常出生率である場合、すなわち $ R(0) < 1 $ の場合、大域的漸近的に安定である。
• 二パラメータ族の生育関数について、非自明な定常出生率は存在する限り局所的漸近的に安定である。
• 遅延定式化における線形化安定性の特性方程式は、PDE定式化から導出されたものと一致し、両モデルの整合性が確認された。
• 非自明な定常状態の安定性は、線形化作用素のスペクトル性質から導き出すことができ、安定性を決定するのは主固有値である。