[論文レビュー] On the hyperbolicity of base spaces for maximally variational families of smooth projective varieties

Ya Deng, Abramovich, with an appendix by Dan|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 60被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、半正則な標準束を持つ滑らかで射影的多様体の最大変動族の底空間が、擬似 Kobayashi 超曲面的であることを証明し、Viehweg-Zuo (2003) の予想を確認するとともに、Brody および Kobayashi 超曲面的に関する既存の結果を一般化する。Viehweg-Zuo の Higgs バンドル、Finsler 距離、および直接像の正則性を用いて、半正則な標準層を持つ極小化された多様体のモジュライ空間の超曲面的性を確立し、一般型の最小的多様体の有効的パラメトライゼーションへと拡張する。

ABSTRACT

For smooth families with maximal variation, whose general fibers have semi-ample canonical bundle, the generalized Viehweg hyperbolicity conjecture states that the base spaces of such families are of log general type. This deep conjecture was recently proved by Popa-Schnell using the theory of Hodge modules and a theorem by Campana-Păun. In this paper we prove that those base spaces are pseudo Kobayashi hyperbolic, as predicted by the Lang conjecture: any complex quasi-projective manifold is pseudo Kobayashi hyperbolic if it is of log general type. As a consequence, we prove the Brody hyperbolicity of moduli spaces of polarized manifolds with semi-ample canonical bundle. This proves a conjecture by Viehweg-Zuo in 2003. We also prove the Kobayashi hyperbolicity of base spaces of effectively parametrized families of minimal projective manifolds of general type. This generalizes previous work by To-Yeung, in which they further assumed that these families are canonically polarized.

研究の動機と目的

• 半正則な標準層を持つ極小化された多様体のモジュライ空間の Brody 超曲面的性に関する、長年の予想である Viehweg と Zuo (2003) の予想を解決すること。
• 半正則な標準束を持つ滑らかで射影的多様体の最大変動族の底空間が、Lang の予想に従って擬似 Kobayashi 超曲面的であることを確立すること。
• 従来の Kobayashi 超曲面的性に関する結果を、Canonical 極小化を必要としない一般型の最小的多様体の有効的パラメトライズド族へと拡張すること。
• 直接像の正則性およびホッジ理論的道具を用いて、モジュライ的設定における超曲面的性の幾何的特徴づけを提供すること。
• 特異点および対数構造を伴う族における超曲面的性の分析のため、Finsler 距離および Viehweg-Zuo の Higgs バンドルを用いたフレームワークを構築すること。

提案手法

• 直接像の正則性と Hodge バンドルの Griffiths 曲率公式を用いて、底空間に Finsler 距離を構成する。
• 半正則な標準層を持つ族に対して Viehweg-Zuo の Higgs バンドル構成を適用し、一般に局所 Torelli 定理が成り立つことを利用する。
• $\rQ$-穏やかな還元と Kollár の slc 多様体の族を用いて、特異点を扱い、基底変換下での標準層の平坦性を保証する。
• 安定写像のモジュライスタックと Alexeev のコンパクト化を用いて、特異点を制御した家族の正則コンパクト化を構成する。
• 純粋性の補題と Kawamata の被覆パッケージを用いて、有限被覆を上げ、滑らかな底スキーム上での適切な族の存在を保証する。
• Hodge バンドルの曲率正則性と Viehweg-Zuo の Higgs バンドルの構造を組み合わせ、非自明な曲率形式を導出し、超曲面的性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半正則な標準束を持つ滑らかで射影的多様体の最大変動族の底空間は、擬似 Kobayashi 超曲面的か？
• RQ2 2003 年に Viehweg と Zuo が予想したように、半正則な標準層を持つ極小化された多様体のモジュライ空間の Brody 超曲面的性は成立するか？
• RQ3 Canonical 極小化を必要としない一般型の最小的多様体の有効的パラメトライズド族の底空間に対して、Kobayashi 超曲面的性を確立できるか？
• RQ4 対数構造および特異点を伴う状況下で、Viehweg-Zuo の Higgs バンドル構成が、超曲面的性に十分な曲率正則性をもたらすか？
• RQ5 $\rQ$-穏やかな還元と安定写像のモジュライスタックをどのように用いることで、超曲面的性の証明に適した特異点を制御したコンパクト化の存在を保証できるか？

主な発見

• 任意の半正則な標準束を持つ滑らかで射影的多様体の最大変動族の底空間 $V$ は、Lang の予想に従って擬似 Kobayashi 超曲面的である。
• 半正則な標準層を持つ極小化された多様体のモジュライ空間 $P_h$ は、モジュライ写像がその像上で準有限であれば Brody 超曲面的であり、Viehweg-Zuo の予想を確認する。
• 任意の有効的パラメトライズド族の一般型の最小的多様体の底空間は Kobayashi 超曲面的であり、Canonical 極小化を要件としていた To と Yeung の既存結果を一般化する。
• Viehweg-Zuo の Higgs バンドルと Griffiths 曲率公式から導かれる正曲率を持つ Finsler 距離の構成は、擬似 Kobayashi 超曲面的性を示唆する。
• Viehweg-Zuo の Higgs バンドルに対して一般に局所 Torelli 定理が成り立つことにより、曲率形式が非退化であることが保証され、超曲面的性の結論が得られる。
• $\rQ$-穏やかな還元技術により、標準的特異点を持つ家族のコンパクト化が構成可能であり、基底変換下での平坦性および標準層の整合性が保証される。