[論文レビュー] On the moduli spaces of 4d $\mathcal{N} = 3$ SCFTs I: triple special Kähler structure

Philip C. Argyres, Antoine Bourget+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 77被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、4次元 $ mathcal{N}=3$ 超 conformal field theory (SCFT) のモジュライ空間を特徴付けるために、三重特別ケーラー (TSK) 構造と呼ばれる新しい幾何的構造を導入する。これらのモジュライ空間は、ランク $n$ の複素多様体として次元 $3n$ を持ち、電荷を帯びた BPS 状態が質量ゼロになる codimension 3 の部分集合で特異点を示し、より次元の低い TSK の部分多様体へと階層化されている。主な貢献は、$ mathcal{N}=3$ SCFT の分類を、そのモジュライ空間の構造に基づいて体系的に扱える新しい枠組みとして、TSK 幾何学を形式化したことにある。

ABSTRACT

We initiate a systematic analysis of moduli spaces of vacua of four dimensional $\mathcal{N}=3$ SCFTs. Our analysis is based on the one hand on the properties of $\mathcal{N}=3$ chiral rings --- which we review in detail and contrast with chiral rings of theories with less supersymmetry --- and on the other hand on constraints coming from low-energy supersymmetry. This leads us to introduce a new type of geometric structure, which characterizes $\mathcal{N}=3$ SCFT moduli spaces, and that we call $triple\ special\ Kähler$ (TSK). A rank-$n$ TSK moduli space has complex dimension $3n$, and is singular at complex co-dimension 3 subspaces where charged states become massless. The structure of singularities defines a stratification of the TSK space in terms of lower-dimensional TSK manifolds.

研究の動機と目的

• 4次元 $ mathcal{N}=3$ 超 conformal field theory (SCFT) の真空のモジュライ空間を体系的に分析すること。
• これらのモジュライ空間の背後にある幾何的構造を同定・特徴づけること。この構造は、$ mathcal{N}=3$ スーパーシンメトリーと chiral ring の性質によって制約を受ける。
• すべての可能な $ mathcal{N}=3$ SCFT のモジュライ空間幾何構造を分類可能な、新しい幾何的枠組み「三重特別ケーラー (TSK) 多様体」を提唱すること。
• モジュライ空間幾何に基づく、$ mathcal{N}=3$ SCFT の下からの分類計画の基盤を築くこと。

提案手法

• $ mathcal{N}=3$ chiral ring の性質と低エネルギー supersymmetry を用いて、モジュライ空間に課される幾何的制約を導出する。
• 複素次元 $3n$ のモジュライ空間に適した、三重特別ケーラー (TSK) 幾何学という新しい構造を導入する。
• 電荷を帯びた BPS 状態が質量ゼロになる codimension 3 の部分集合として、モジュライ空間の特異点を分析し、より次元の低い TSK 多様体への階層化を導く。
• 物理的直観と orbifold 構成（例：$ mathbb{C}^6/S_3$）を用いて、ストラトと横断的断面（例：$I_0^*$ および $I_0$ 幾何）を特定する。
• 代数的技法を用いて、計量と複素構造の両方の特異点を解析し、$ mathcal{N}=3$ SCFT において両者が同時に発生しうることを示す。
• Hasse 図を用いてモジュライ空間のストラチフィケーションを構成し、ランク 1 およびランク 2 の例を通じて、特異点の階層を可視化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次スーパーシンメトリーが与えられた場合、4次元 $ mathcal{N}=3$ SCFT の真空モジュライ空間を特徴付ける幾何的構造は何か？
• RQ2 モジュアイ空間の特異点はどのように生じるのか？ そして、より次元の低い TSK 多様体へのストラチフィケーションとして、どのように構造化されるのか？
• RQ3 代数的および幾何的制約を用いて、$ mathcal{N}=3$ SCFT のモジュライ空間幾何を体系的に分類可能か？
• RQ4 chiral ring と演算子のスケーリング次元は、可能なモジュライ空間幾何をどのように制約するか？
• RQ5 計量と複素構造の両方の特異点が $ mathcal{N}=3$ SCFT のモジュライ空間に同時に存在するのか？ そして、それらは理論のダイナミクスにどのような意味を持つのか？

主な発見

• $ mathcal{N}=3$ SCFT のランク $n$ のモジュライ空間は、複素多様体として次元 $3n$ を持ち、三重特別ケーラー (TSK) 幾何を持つ。
• 特異点は、電荷を帯びた BPS 状態が質量ゼロになる複素 codimension 3 の部分空間で発生し、それらの特異点集合はより次元の低い TSK 多様体へのストラチフィケーションを定義する。
• ランク 1 の $ mathcal{N}=4$ $SU(2)$ 理論では、モジュライ空間は $I_0^* o I_0$ であり、$I_0^*$ が $I_0^* o I_0$ のストラトであり、$I_0$ が最小ストラトである。
• ランク 2 の $ mathcal{N}=4$ $SU(3)$ 理論では、モジュライ空間 $ mathbb{C}^6/S_3$ は3つのストラトを持つ Hasse 図を示し、${ mathcal{M}}_2 o { mathcal{M}}_1 o { mathcal{M}}_0$ のように階層化される。ここで ${ mathcal{M}}_1 o I_0^*$ かつ ${ mathcal{M}}_1 o I_0$ である。
• ランク 2 の場合のストラト ${ mathcal{M}}_1$ は $ mathbb{C}^3$ に同型であり、これは $SU(2)$ の未破れ部分群に対応し、原点で非正規な複素特異点を持つが、内在的な計量特異点は持たない。
• 本稿では、$ mathcal{N}=3$ SCFT のモジュライ空間において、計量特異点と複素構造特異点が同時に存在しうることを確立した。これは、$ mathcal{N}=2$ 理論における従来の仮定とは対照的である。