[論文レビュー] Topological strings and their physical applications

Andrew Neitzke, Cumrun Vafa|ArXiv.org|Oct 16, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 75被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、Calabi-Yau多様体とトーリック幾何における数学的基盤と、超対称ゲージ理論およびBPSブラックホールエントロピーにおける物理的応用を詳細に説明する、トポロジカルストリングの包括的な入門を提供する。トポロジカルストリングは、仮説的な7次元トポロジカルM理論によって統一されるとされ、Bモデルの分配関数がBモデル振幅の二乗に関係しており、一般化幾何を介してAモデルとBモデルの非摂動的完成と統一が示唆されている。

ABSTRACT

We give an introductory review of topological strings and their application to various aspects of superstrings and supersymmetric gauge theories. This review includes developing the necessary mathematical background for topological strings, such as the notions of Calabi-Yau manifold and toric geometry, as well as physical methods developed for solving them, such as mirror symmetry, large N dualities, the topological vertex and quantum foam. In addition, we discuss applications of topological strings to N=1,2 supersymmetric gauge theories in 4 dimensions as well as to BPS black hole entropy in 4 and 5 dimensions. (These are notes from lectures given by the second author at the 2004 Simons Workshop in Mathematics and Physics.)

研究の動機と目的

• 物理学者および数学者の両方にとって理解しやすいトポロジカルストリングの教育的入門を提供すること。
• Calabi-Yau多様体、トーリック幾何、およびねじり手続きを含む、トポロジカルストリングの数学的および物理的基盤を確立すること。
• 鏡映性、大N双対性、トポロジカルボックス、量子フォームを含む計算ツールをレビューすること。
• 4次元および5次元におけるN=1,2超対称ゲージ理論およびBPSブラックホールエントロピーへのトポロジカルストリングの応用を示すこと。
• 7次元トポロジカルM理論の候補を提示し、一般化G2幾何と体積関数への依存性によりAモデルとBモデルを統一すること。

提案手法

• Calabi-Yau3-fold上のN=(2,2)超対称sigma模型のねじりによりトポロジカルストリングを定義し、ホロモルフィック構造とシンプレクティック構造を通じてAモデルとBモデルを区別する。
• 鏡映性を用いて、あるCalabi-Yau多様体上のAモデル振幅をその鏡像上のBモデル振幅に関連づけ、代数的幾何を用いた計算を可能にする。
• 大N双対性と幾何的遷移を適用して、トポロジカルストリング振幅を行列模型やゲージ理論に関連づける。
• トポロジカルボックスを導入し、表現論とW∞対称性を用いた、トーリックCalabi-Yau3-fold上の振幅を再帰的に計算する手法を提示する。
• 量子フォームを、幾何の和としての定式化とし、Aモデルの非摂動的再定式化を提供し、トポロジカルストリング分配関数と関連付ける。
• 一般化G2構造に基づく7次元作用V7(Φ)を提示し、その極値がG2特異性を持つ計量を生成し、分配関数|ZB|²をもたらす。これはBモデルの非摂動的完成を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじりと鏡映性を用いて、Calabi-Yau多様体上でのトポロジカルストリングの定義と計算はどのように可能か？
• RQ2 トポロジカルボックスと大N双対性は、異なるトポロジカルストリングセクター間の振幅計算において果たす役割は何か？
• RQ3 トポロジカルストリングは、N=2超対称ゲージ理論における前ポテンシャルと分配関数をどのように計算するか？
• RQ4 トポロジカルストリングは、4次元および5次元時空におけるBPSブラックホールエントロピーをどのように説明するか？
• RQ5 7次元トポロジカルM理論はAモデルとBモデルを統一できるか？一般化幾何はこの統一において果たす役割は何か？

主な発見

• Bモデルトポロジカルストリングの分配関数は、振幅の二乗|ZB|²に関係しており、理論の非摂動的完成を示唆している。
• 7次元体積関数V7(Φ)の古典的値は、AモデルとBモデルの作用の和を再現し、これがトポロジカルM理論の候補としての役割を支持している。
• V7(Φ)の極値化により、G2特異性を持つ計量が得られ、7次元理論の幾何的実現が可能になる。
• X×S¹上の7次元理論は、BモデルとAモデルにそれぞれ対応する2つの6次元体積関数VH(ρ)とVS(σ)に分解される。
• VH(ρ)の1ループ解析では、古典的関係ZH=|ZB|²が破れるが、通常の複素構造の代わりに一般化複素構造を導入することで回復可能である。
• 7次元記述は自然にAモデルとBモデルの自由度を統一し、それらが量子論において正準共役である可能性を示唆するとともに、2つのモデル間のS双対性の兆候を示している。