[論文レビュー] A mini-course on topological strings

Marcel Vonk|ArXiv.org|Apr 18, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用数 58

ひとこと要約

このミニコースは、量子場理論および一般相対性理論の背景を持つ大学院生を対象に、トポロジカルな超弦理論の教育的導入を提供する。主な焦点は、カーラビ＝ヤウ多様体上のN=(2,2)超対称場理論のねじりを用いたAモデルおよびBモデルのトポロジカルな超弦の構成にある。主な貢献は、$ Z_{BH} = |Z_{top}|^2 $ という関係を通じて、トポロジカルな超弦の振幅がブラックホールのエントロピーをどのように記述するかを体系的に導出することであり、マトリックスモデルと幾何的遷移を介して、トポロジカルな超弦と極端ブラックホール物理学を結びつける。

ABSTRACT

These are the lecture notes for a short course in topological string theory that I gave at Uppsala University in the fall of 2004. The notes are aimed at PhD students who have studied quantum field theory and general relativity, and who have some general knowledge of ordinary string theory. The main purpose of the course is to cover the basics: after a review of the necessary mathematical tools, a thorough discussion of the construction of the A- and B-model topological strings from twisted N=(2,2) supersymmetric field theories is given. The notes end with a brief discussion on some selected applications.

研究の動機と目的

• QFT、GR、微分幾何学の基礎的知識を持つ物理学者および数学者を対象に、トポロジカルな超弦理論の自己完結的でアクセス可能な導入を提供すること。
• 特にコhomological場理論およびねじり手続きを含む、トポロジカル場理論の数学的・物理的基礎を明確にすること。
• トポロジカルな超弦振幅と、N=2有効理論におけるF項補正やブラックホールエントロピーといった物理現象との関係を確立すること。
• トポロジカルな超弦とマトリックスモデルおよび幾何的遷移を結びつけ、弦理論における双対性を説明すること。
• すべての既知のトポロジカルな超弦双対性を統合する枠組みとしてのトポロジカルM理論の概念的動機を提示すること。

提案手法

• R対称性と仮想次元解析を用いて、2次元のN=(2,2)超対称場理論のねじりを用いてAモデルおよびBモデルのトポロジカルな超弦を導出する。
• 降下方程式およびBRSTに類似したコホモロジーを含む、コhomological場理論の技術を適用して、観測量および相関関数を定義する。
• Dolbeaultおよびde Rhamコホモロジーを用いて、特にケーラー構造および複素構造のモジュライ空間を分析する。
• 振幅のモジュライ依存性を記述するための正則性の欠如方程式を導入し、高 genus 計算において重要である。
• トポロジカルな超弦の文脈における分配関数および相関関数を計算するための、トポロジカル重力のカップリングを構成する。
• 特にコンパクト化遷移を介した双対性を確立し、非多項式的ポテンシャルを持つマトリックス量子力学とトポロジカルな超弦を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AモデルおよびBモデルのトポロジカルな超弦は、どのようにねじったN=(2,2)超対称場理論から体系的に導出可能か？
• RQ2 高 genus におけるトポロジカルな超弦振幅の計算において、正則性の欠如は果たす役割は何か？
• RQ3 トポロジカルな超弦振幅は、N=2超重力理論における極端ブラックホールのエントロピーをどのように記述するか？
• RQ4 トポロジカルな超弦はマトリックスモデルとどのように同等であり、この同等性はブラックホールの分配関数をどのように記述するか？
• RQ5 すべての既知のトポロジカルな超弦双対性を統合する枠組みとしての、トポロジカルM理論は存在するか？

主な発見

• 極端N=2ブラックホールの分配関数は、$ Z_{BH} = |Z_{top}|^2 $ で与えられ、ここで $ Z_{top} $ はブラックホールのホライズンにおけるカーラビ＝ヤウ多様体上のBモデルのトポロジカルな超弦の分配関数である。
• Ooguri、Strominger、Vafaによって示されたように、量子補正を含むブラックホールエントロピーは、高 genus におけるトポロジカルな超弦振幅によって正確に記述される。
• ポテンシャル $ W(x) = -x^2 + 1/x^2 $ を持つマトリックスモデルは、非コンパクトなカーラビ＝ヤウ多様体上のトポロジカルな超弦と同一の分配関数を再現し、双対性を確認する。
• ブラックホールのマトリックスモデル記述は、ユークリッド時間における有限温度を示すが、ブラックホール自体は極端で放射しないため、非自明な熱力学的解釈が生じる。
• コンパクト化幾何におけるトポロジカルな超弦の分配関数は、Dブレーン系と一致し、幾何的遷移を介したオープン/クローズド双対性を示している。
• Hitchinの形式的体系を用いて、すべての低次元トポロジカルな超弦およびその双対性を統合する可能性を示唆する、トポロジカルM理論の候補が提示された。