[論文レビュー] On the precanonical structure of the Schrödinger wave functional

Igor V. Kanatchikov|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、量子場理論における標準的関数的シュレーディンガー波関数が、デ・ドンデル＝ヴァイリのハミルトニアン形式に基づくプリキャンタナリー量化枠組みの連続極限として導かれることを確立する。微小なパラメータ $ε$ が紫外空間体積スケールを表すように導入することで、プリキャンタナリー手法はクラッファード値をとる波関数を生み出し、これは共変偏微分方程式を満たす。$1/\varkappa \to 0$ の極限において、この方程式は正確に標準的関数的シュレーディンガー方程式に簡約される。

ABSTRACT

We show that the Schrödinger wave functional may be obtained as the product integral of precanonical wave functions on the space of field and space-time variables. The functional derivative Schrödinger equation underlying the canonical field quantization is derived from the partial derivative covariant analogue of the Schrödinger equation, which appears in the precanonical field quantization based on the De Donder-Weyl generalization of the Hamiltonian formalism for field theory. The representations of precanonical quantum operators typically contain an ultraviolet parameter $\varkappa$ of the dimension of the inverse spatial volume. The transition from the precanonical description of quantum fields in terms of Clifford-valued wave functions and partial derivative operators to the standard functional Schrödinger representation obtained from canonical quantization is accomplished if $\frac{1}{\varkappa} ightarrow 0$ and $\frac{1}{\varkappa}γ_0$ is mapped to the infinitesimal spatial volume element $\mathrm{d}\mathbf{x}$. Thus the standard QFT obtained via canonical quantization corresponds to the quantum theory of fields derived via precanonical quantization in the limiting case of an infinitesimal value of the parameter $\frac{1}{\varkappa}$.

研究の動機と目的

• プリキャンタナリー量化と量子場理論における標準的キャンティカル量化の関係を明確化すること。
• 時空対称的場の量化を活用することで、量子論と相対性理論の間の概念的緊張を解消すること。
• 関数的シュレーディンガー表現がプリキャンタナリー波関数の極限的ケースとして出現することを示すこと。
• 積分積構造を用いて、共変的でプリキャンタナリーな類似物から標準的シュレーディンガー方程式を厳密に導出すること。
• パラメータ $\varkappa$ を根本的な紫外スケールと解釈し、量子重力と関連付ける可能性を提示すること。

提案手法

• 関数的微分の代わりに、場と時空変数の空間における偏微分を用いて、プリキャンタナリー・シュレーディンガー方程式を定式化する。
• $\varkappa$ を次元が空間体積の逆数であるパラメータとして導入し、プリキャンタナリー量子演算子の表現に現れ、最小体積分解能を表す。
• 時間変数に依存しない、空間的超曲面 $\Sigma$ 上での波関数 $\Psi_{\Sigma}$ の時間発展がプリキャンタナリー方程式に従うとして、標準的関数的シュレーディンガー方程式を極限 $1/\varkappa \to \mathrm{d}\mathbf{x}$ として導出する。ここで $\frac{1}{\varkappa}\gamma_0$ が空間体積要素に対応する。
• 積分積の公式（式 3.31）を用いて、時空的超曲面 $\Sigma$ に制限されたプリキャンタナリー波関数 $\Psi$ から関数的波関数 $\mathbf{\Psi}$ を構成する。
• 波関数 $\mathbf{\Psi}$ の時間発展が、プリキャンタナリー方程式に従う $\Psi_{\Sigma}$ の時間発展によって完全に決定されることを示す。
• 時空対称的場理論の一般化のため、キャンティカル構造を時空に共変的に一般化するため、デ・ドンデル＝ヴァイリの共変ハミルトニアン形式に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デ・ドンデル＝ヴァイリ形式に基づくプリキャンタナリー量化枠組みは、量子場理論における標準的関数的シュレーディンガー表現とどのように関係しているか？
• RQ2 プリキャンタナリー量子場理論において、特に紫外正則化の文脈で、パラメータ $\varkappa$ の物理的・数学的役割は何か？
• RQ3 関数的微分を含む標準的シュレーディンガー方程式は、偏微分を含むプリキャンタナリー方程式の極限として導出可能か？
• RQ4 プリキャンタナリー量化の時空対称的構造は、明示的なローレンツ不変性を保ち、グローバルな時間断片化の必要性を回避する仕組みは何か？
• RQ5 積分積構成法は、プリキャンタナリー波関数と標準的関数的波関数の間の接続において、どのような意義を持つのか？

主な発見

• 関数的シュレーディンガー波関数は、$\frac{1}{\varkappa} \to \mathrm{d}\mathbf{x}$ の極限として出現し、ここで $\frac{1}{\varkappa}\gamma_0$ が無限小空間体積要素に対応する。
• 標準的キャンティカルシュレーディンガー方程式は、積分積の公式（式 3.31）を用いてプリキャンタナリー共変シュレーディンガー方程式から導出可能であり、$\mathbf{\Psi}$ は $\Psi_{\Sigma}$ から構成される。
• プリキャンタナリー波関数 $\Psi(y,x)$ は、質量項の代わりにデ・ドンデル＝ヴァイリのハミルトニアンを有するディラック型方程式を満たし、クラッファード値をとる。
• $\varkappa$ は次元が空間体積の逆数である紫外正則化子として機能し、$\varkappa \to 0$ の極限がキャンティカルQFTの連続極限に対応する。
• プリキャンタナリー量化は時空対称性を保存し、特異な時間変数を必要としないため、量子重力や非グローバルにハイパボリックな時空に適している。
• 自由スカラー場の真空状態は、各空間点 $\mathbf{x}$ における調和振動子の基底状態の積として再現され、これは各 $\mathbf{x}$ におけるプリキャンタナリー・ハミルトニアンから導出可能である。