[論文レビュー] Precanonical quantization and the Schrödinger wave functional revisited

Igor V. Kanatchikov|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 46被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、時間の優先的選択や無限次元的配置空間を必要としない前正準量子化（precanonical quantization）と、標準的な関数的シュレーディンガー表現との間の厳密な関係を確立する。前正準的ディラックに類似した方程式の極限 $γ^{0}\varkappa \rightarrow \delta(\mathbf{0})$ において、正準的関数微分シュレーディンガー方程式が導かれ、シュレーディンガーの波関数が有限次元的クリフォード代数値前正準的波関数の連続的積として得られることを示す。

ABSTRACT

We address the issue of the relation between the canonical functional Schrödinger representation in quantum field theory and the approach of precanonical field quantization proposed by the author, which requires neither a distinguished time variable nor infinite-dimensional spaces of field configurations. We argue that the standard functional derivative Schrödinger equation can be derived from the precanonical Dirac-like covariant generalization of the Schrödinger equation under the formal limiting transition $γ^0\varkappa ightarrowδ(\mathbf{0})$, where the constant $\varkappa$ naturally appears within the precanonical quantization as the inverse of a small "elementary volume" of space. We obtain a formal explicit expression of the Schrödinger wave functional as a continuous product of the Dirac algebra valued precanonical wave functions, which are defined on the finite-dimensional covariant configuration space of the field variables and space-time variables.

研究の動機と目的

• 量子場理論における前正準的量子化と標準的関数的シュレーディンガー表現との関係を明確化すること。
• 前正準的波関数と関数的波関数の間の変換における非可積分性の問題を、その遷移に十分な条件を同定することで解決すること。
• 標準的シュレーディンガー波関数が、基本体積スケール $1/\varkappa$ が消えるときの前正準的形式主義の特異的極限として現れることを示すこと。
• δ(\mathbf{0}) の相対論的変換性と前正準的量子化写像を統合し、正準形式主義への遷移における一貫性を保証すること。

提案手法

• 前正準的ディラックに類似した方程式 $i\hbar\varkappa\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi = \widehat{H}\Psi$ から、極限 $\gamma^0\varkappa \to \delta(\mathbf{0})$ を経て関数微分シュレーディンガー方程式を導出する。
• 前正準的波関数をシュレーディンガー波関数に写像する変換 $U(y(\mathbf{x}))$ を導入し、その一貫性を保証する条件 $\partial_{\mu}y^{a} = \partial H / \partial p^{\mu}_a$ を満たす。
• クリフォード代数の要素 $\frac{1}{\varkappa}\gamma_0$ を微分形式 $d\mathbf{x}$ に結びつける逆量子化写像 $q^{-1}$ を用い、前正準的パrameter $\varkappa$ を古典的無限小体積と関連付ける。
• シュレーディンガー波関数を、有限次元的共変配置空間上に定義された前正準的波関数 $\Psi(y^a, x^\mu)$ の連続的積として構成する。
• 多対称的構造とゲルステンハーバー代数の枠組みを用いて、前正準的形式主義におけるポisson括弧と量子化の一貫性を保証する。
• パラメータ $\varkappa \to \delta(\mathbf{0})$ が、δ(\mathbf{0}) の相対論的性質と前正準的量子化写像を統合し、関数微分方程式における従来の不整合を解消することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共変場の量子化フレームワークにおいて、前正準的ディラックに類似した方程式から標準的関数的シュレーディンガー方程式をどのように導出できるか。
• RQ2 前正準的から正準的関数的量子化への遷移において、パラメータ $\varkappa$ が果たす役割は何か。
• RQ3 波関数間の変換のための関数微分方程式が非可積分となる理由は何か。その問題はどのように解決できるか。
• RQ4 前正準的量子化の文脈において、極限 $\gamma^0\varkappa \to \delta(\mathbf{0})$ の明確な数学的・物理的意味は何か。
• RQ5 パラメータ $\varkappa \to \delta(\mathbf{0})$ が、前正準的波関数からシュレーディンガー波関数が出現するための必要十分条件であるかどうか。

主な発見

• 関数微分シュレーディンガー方程式は、パラメータ $\varkappa$ が基本体積スケールの逆数であるとき、前正準的ディラックに類似した方程式の極限 $\gamma^0\varkappa \to \delta(\mathbf{0})$ として導かれる。
• シュレーディンガー波関数は、有限次元的共変配置空間上に定義されたクリフォード代数値前正準的波関数の連続的積として明示的に構成される。
• 前正準的波関数を関数的波関数に写像する変換 $U(y(\mathbf{x}))$ は、条件 $\partial_{\mu}y^{a} = \partial H / \partial p^{\mu}_a$ によって完全に決定され、従来の非可積分性の問題が解決される。
• パラメータ $\varkappa \to \delta(\mathbf{0})$ は、δ(\mathbf{0}) の相対論的変換性と逆量子化写像 $q^{-1}$ を統合し、古典的体積形式 $d\mathbf{x}$ と一貫性を保つ。
• $\varkappa$ は根本的なUV正則化ではない。これは、正準極限において消えるスケールパラメータであり、自由場理論では消えるため、物理的長さスケールではなく、遷移のための数学的道具である。
• 仮定 $\partial_{\mu}y^{a} = \partial H / \partial p^{\mu}_a$ は、関数的シュレーディンガー表現が前正準的量子化から出現するための必要十分条件であることが、近い論文で示されている。