[論文レビュー] Optimal moral-hazard-free reinsurance under extended distortion premium principles

Zhuo Jin, Zuo Quan Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2023

Insurance and Financial Risk ManagementEconomics, Econometrics and Finance被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、凹でない歪み関数を許容する拡張された歪み保険料原理に基づく、モラルハザードを回避する最適再保険契約を構築する。二重障害問題を用いて存在を確立し、最適再保険を特徴づける。三つの例について、インcentive compatibility（インcentive適合性）を満たし、拡散リスクモデル下での破産確率を最小化する最適保険額関数を（半）閉形式で導出する。

ABSTRACT

We study an optimal reinsurance problem under a diffusion risk model for an insurer who aims to minimize the probability of lifetime ruin. To rule out moral hazard issues, we only consider moral-hazard-free reinsurance contracts by imposing the incentive compatibility constraint on indemnity functions. The reinsurance premium is calculated under an extended distortion premium principle, in which the distortion function is not necessarily concave. We first show that an optimal reinsurance contract always exists and then derive two sufficient and necessary conditions to characterize it. Due to the presence of the incentive compatibility constraint and the nonconcavity of the distortion, the optimal contract is obtained as a solution to a double obstacle problem. At last, we apply the general result to study three examples and obtain the optimal contract in (semi)closed form.

研究の動機と目的

• 再保険におけるモラルハザードを解消するため、補償関数にインcentive適合性を課すこと。
• 非凹な歪み関数を許容する拡張歪み保険料原理を用いて再保険保険料をモデル化すること。
• 拡散リスクモデル下で保険会社の生涯破産確率を最小化すること。
• これらの制約下での最適再保険の必要十分条件を導出すること。
• 具体的な例について、明示的な（半）閉形式解を提供し、一般枠組みの妥当性を検証すること。

提案手法

• モラルハザードを排除するために、補償関数にインcentive適合性（IC）制約を課し、すべての z ≥ z′ ≥ 0 に対して 0 ≤ I(z) − I(z′) ≤ z − z′ を要求する。
• 非凹な歪み関数 g と負荷係数 θ₀ ≥ 0 を持つ拡張歪み保険料原理を用い、標準的原理を一般化する。
• 保険会社のリスクプロセスを拡散過程としてモデル化し、生涯破産確率の最小化問題として最適化問題を定式化する。
• 最適保険額関数 H*(z) = z − I*(z) を二重障害問題によって特徴づけ、最適暗黙微分方程式（OIDE）を導出する。
• Fubiniの定理と変分解析を適用し、符号付き測度 Φ を含む必要十分最適性条件を導出する。
• 閾値構造を用いて OIDE を解く：H*(z) = min{d, z} であり、d は生存関数と歪み関数に関する条件によって定まる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保険料が拡張歪み原理で計算される場合、歪み関数が非凹であっても、最適モラルハザードフリー再保険契約が常に存在する条件は何か？
• RQ2 歪み関数が非凹でかつ IC 制約が課された場合、最適再保険契約はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 二重障害問題フレームワーク下での最適保険額関数 H*(z) の構造は何か？
• RQ4 歪み関数のパラメータと負荷係数は、最適再保険設計にどのように影響するか？
• RQ5 特定の例について、最適契約を（半）閉形式で導出できるか。その結果得られる形は何か？

主な発見

• 拡張歪み保険料原理と IC 制約の下では、最適モラルハザードフリー再保険契約が常に存在する。
• 最適保険額関数 H*(z) は二重障害問題によって特徴づけられ、最適暗黙微分方程式（OIDE）を導く。
• 最適 H*(z) は閾値形式をとる：H*(z) = min{d, z} であり、d は値関数の微分が閾値で消える条件によって定まる。
• べき関数歪み関数 g(p) = p^{1/ρ} の例では、最適契約が半閉形式で導出され、d は生存関数とパラメータを含む特定の式を満たす。
• 最適契約により、保険会社の保険額関数 H*(z) の微分は、Φ(z) < 0 のとき 1、Φ(z) > 0 のとき 0、Φ(z) = 0 のとき [0,1] にあり、OIDE 構造が確認される。
• 値関数 v(a*) は最適保険額関数と歪み関数を含む積分として表現され、最小破産確率の閉形式表現が得られる。