[論文レビュー] Overconvergent global analytic geometry

Frédéric Paugam|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般のバナッハ環上の過収束的グローバル解析幾何を導入し、ベルコヴィッチとアポイヌの解析的空間、グローフレ・クレーンの $p$-進過収束的空間、バンボツキのアーチメデス的類似を統一する。過収束的モチーフ、安定ホモトピー論、および解析的 $K$-理論から循環ホモロジーへの導来チャーン類を構成し、分母を含まない整数的実現を可能にする。

ABSTRACT

We define a notion of global analytic space with overconvergent structure sheaf. This gives an analog on a general base Banach ring of Grosse-Kloenne's overconvergent p-adic spaces and of Bambozzi's generalized affinoid varieties over R. This also gives an affinoid version of Berkovich's and Poineau's global analytic spaces. This affinoid approach allows the introduction of a notion of strict global analytic space, that has some relations with the ideas of Arakelov geometry, since the base extension along the identity morphism on Z (from the archimedean norm to the trivial norm) sends a strict global analytic space to a usual scheme over Z, that we interpret here as a strict analytic space over Z equipped with its trivial norm. One may also interpret some particular analytification functors as mere base extensions. We use our categories to define overconvergent motives and an overconvergent stable homotopy theory of global analytic spaces. These have natural Betti, de Rham and pro-étale realizations. Motivated by problems in global Hodge theory and integrality questions in the theory of special values of arithmetic L-functions, we also define derived overconvergent global analytic spaces and their (derived) de Rham cohomology. Finally, we use Toen and Vezzosi's derived geometric methods to define a natural (integral) Chern character on analytic Waldhausen's K-theory with values in analytic cyclic homology. The compatibility of our constructions with Banach base extensions gives new perspectives both on global analytic spaces and on the various realizations of the corresponding motives.

研究の動機と目的

• 一般のバナッハ環上のグローバル解析幾何の統一的枠組みを構築すること。
• ベルコヴィッチとアポイヌの解析的空間を過収束的冪級数を用いて拡張し、$p$-進およびアーチメデス的幾何と両立するようにすること。
• 解析的空間に対して過収束的モチーフおよび安定ホモトピー論を定義し、ベティ、ド・ラーム、およびプロ-étale実現を備えること。
• 解析的ワルドハウゼン $K$-理論から循環ホモロジーへの導来チャーン類を構成し、特殊 $L$-値の整数的レジウレーターを可能にすること。
• 導来グローバル解析的設定において、整数的チャーン類を用いることで算術的 $L$-関数の特殊値の公式から分母を避けること。

提案手法

• 過収束的冪級数環 $R\{\rho^{-1}T\}^\dagger$ を、$\nu > \rho$ に対する収束的冪級数環 $R\{\nu^{-1}T\}$ のフィルター付き帰納極限として定義するダガー代数を導入する。
• ダガー代数をモデルとする局所環層空間としてダガー解析的空間を定義し、有理的ドメインとテートのアセイド性定理によって誘導される位相を備える。
• ダガー解析的空間上の層の安定ホモトピー論を用いてグローバル解析的モチーフを構成し、ベティ、ド・ラーム、およびプロ-étale実現を備える。
• 導来ダガー代数およびダガー接続複体を定義し、グローバル解析的空間に対する導来ド・ラームコホモロジーを定義する。
• トーネ＝ヴェッツォシの導来幾何を用いて、負の循環ホモロジースペクトラ値をとる自然な整数的チャーン類 $\mathbf{K}(X) \to \mathbf{HC}^{\text{neg}}(X)$ を定義する。
• （例：アーチメデス的ノルムから自明なノルムへの）恒等射に沿った基底拡張を用いて、厳密なグローバル解析的空間をスキームとして解釈し、アラケロフ幾何と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のバナッハ環上で、過収束的 $p$-進幾何、アーチメデス的幾何、ベルコヴィッチの解析的幾何を一つの枠組みに統合することは可能か？
• RQ2 非アーチメデス的およびアーチメデス的体上の過収束的冪級数は、グローバル解析幾何におけるアフィノイド代数の良好な類似を提供できるか？
• RQ3 ベティ、ド・ラーム、およびプロ-étale実現を備える解析的空間に対して、安定ホモトピー論およびモチーフをどのように定義できるか？
• RQ4 解析的ワルドハウゼン $K$-理論から循環ホモロジーへの導来チャーン類を構成し、特殊 $L$-値の公式における分母を避けることは可能か？
• RQ5 導来グローバル解析的形式的体系は、アラケロフモチーフコホモロジーの整数的版をどの程度提供できるか？

主な発見

• 本稿は、任意のバナッハ環上の過収束的グローバル解析的空間の圏を構成し、ベルコヴィッチとアポイヌの解析的空間を一般化する。
• 過収束的モチーフおよび解析的空間の安定ホモトピー論を定義し、自然なベティ、ド・ラーム、およびプロ-étale実現を備える。
• 導来ダガー接続複体により、グローバル解析的空間に対する導来ド・ラームコホモロジーを定義可能となる。
• 自然な整数的チャーン類 $\mathbf{K}(X) \to \mathbf{HC}^{\text{neg}}(X)$ が構成され、基底拡張と両立し、トーネ＝ヴェッツォシの形式的体系を拡張する。
• アーチメデス的ノルムから自明なノルムへの基底拡張を用いることで、厳密なグローバル解析的空間を通常の $\mathbb{Z}$ 上のスキームとして解釈でき、アラケロフ幾何と結びつく。
• チャーン類の構成により、特殊 $L$-値の公式における分母が回避され、算術的 $L$-関数における整数的レジウレーターへの道筋が示唆される。