[論文レビュー] Perverse $\mathbb{F}_p$-sheaves on the affine Grassmannian

Robert Cass|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴値 $p>0$ の代数的閉体上での再帰的群 $G$ のアフィングラスマンニアン上での $L^+G$--equivariant な perverse $\mathbb{F}_p$-層の圏を構成し、それが対称モノイダル圏であることを証明し、Tannakian形式主義を用いてアフィンモノイドスキームの表現の圏と同値であることを確立する。主な結果は、mod $p$ Satake同型写像の逆写像の幾何化であり、IC層の畳み込みは単純のままであり、各IC層のコホモロジーは $\mathbb{F}_p$ 上で1次元である。この研究は、アフィンシューベルト多様体のフロベニウス分割可能性とグローバル $F$-正則性に依拠している。

ABSTRACT

For a reductive group over an algebraically closed field of characteristic $p > 0$ we construct the abelian category of perverse $\mathbb{F}_p$-sheaves on the affine Grassmannian that are equivariant with respect to the action of the positive loop group. We show this is a symmetric monoidal category, and then we apply a Tannakian formalism to show this category is equivalent to the category of representations of a certain affine monoid scheme. We also show that our work provides a geometrization of the inverse of the mod $p$ Satake isomorphism. Along the way we prove that affine Schubert varieties are globally $F$-regular and we apply Frobenius splitting techniques to the theory of perverse $\mathbb{F}_p$-sheaves.

研究の動機と目的

• アフィングラスマンニアン $\operatorname{Gr}$ 上での $L^+G$-equivariant な perverse $\mathbb{F}_p$-層の圏を、正の特性において定義し、研究すること。
• この圏が畳み込みに関して対称モノイダルであり、アフィンモノイドスキーム $M_G$ の表現の圏として Tannakian再構成が可能であることを確立すること。
• コホモロジー関手 $H = \bigoplus_i R^i\Gamma(-)$ が正確で、忠実であり、かつ対称モノイダルであることを示し、これにより $\operatorname{Rep}_{\mathbb{F}_p}(M_G)$ と同値であることを導くこと。
• Tannakian関手とIC層のコホモロジーを用いて、mod $p$ Satake同型写像の逆写像の幾何的実現を提供すること。
• アフィンシューベルト多様体がグローバルに $F$-正則であり、フロベニウス分割技術を用いて $\mathbb{F}_p$- perverse 層を解析できることを証明すること。

提案手法

• 中間 perverse 条件と $\ell$-adic 層の $\mathbb{F}_p$ 構造を用いて、$\operatorname{Gr}$ 上での perverse $\mathbb{F}_p$-層を定義する。
• LG の群ガロア構造とヘッケ代数作用を用いて、$P_{L^+G}(\operatorname{Gr}, \mathbb{F}_p)$ 上の畳み込み積を構成する。
• コホモロジー関手 $H = \bigoplus_i R^i\Gamma(-)$ が正確で忠実であり、圏のモノイダル構造を用いて対称モノイダル関手に高める。
• 関手 $H$ に Tannakian形式主義を適用し、$H$ の自己同型群が $\mathbb{F}_p$ 上のアフィンモノイドスキーム $M_G$ によって表されることを示す。
• フロベニウス分割技術を用いて、アフィンシューベルト多様体がグローバルに $F$-正則であることを確立し、これにより $\mathbb{F}_p$- perverse 層の純粋性と高次コホモロジーの消滅を保証する。
• Tannakian関手 $\mathcal{T}$ を $K_0$ 上で $\mathcal{S}^{-1}$ と比較することで、mod $p$ Satake同型写像を確立する。ここで $\mathcal{S}^{-1}$ は Herzig の公式を用いて表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性におけるアフィングラスマンニアン上での $L^+G$-equivariant な well-behaved な perverse $\mathbb{F}_p$-層の圏をどのように定義できるか？
• RQ2 このような層の圏は畳み込みに関して対称モノイダルであり、Tannakian形式主義によって再構成可能か？
• RQ3 アフィンシューベルト多様体上のIC層のコホモロジーは $\mathbb{F}_p$ 上で1次元のままであるか？ これは圏の構造にどのような意味を持つのか？
• RQ4 Tannakian関手を用いて、mod $p$ Satake同型写像の逆写像を幾何的に実現できるか？
• RQ5 アフィンシューベルト多様体の特異性は何か？ そしてフロベニウス分割技術は $\mathbb{F}_p$- perverse 層の解析にどのように寄与するか？

主な発見

• 畳み込みに関して、$L^+G$-equivariant な perverse $\mathbb{F}_p$-層の圏 $P_{L^+G}(\operatorname{Gr}, \mathbb{F}_p)$ は対称モノイダル圏である。
• コホモロジー関手 $H = \bigoplus_i R^i\Gamma(-)$ は正確で、忠実であり、かつ対称モノイダルであり、これにより $\operatorname{Rep}_{\mathbb{F}_p}(M_G)$ と同値であることが導かれる。ここで $M_G$ は $\mathbb{F}_p$ 上のアフィンモノイドスキームである。
• IC層の畳み込みは $\operatorname{IC}_{\mu_1} * \operatorname{IC}_{\mu_2} = \operatorname{IC}_{\mu_1 + \mu_2}$ を満たし、単純対象の積が単純のままであることを示している。
• 任意の支配的コアキシャル $\mu$ に対して、$H(\operatorname{IC}_\mu)$ の $\mathbb{F}_p$-次元は正確に1、すなわち $\dim_{\mathbb{F}_p} H(\operatorname{IC}_\mu) = 1$ である。
• アフィンシューベルト多様体 $\operatorname{Gr}_{\leq \mu}$ はグローバルに $F$-正則であり、これは $\mathbb{F}_p$- perverse 層のコホモロジーと純粋性を制御する上で重要な性質である。
• Tannakian関手 $\mathcal{T}$ は $K_0(P_{L^+G}(\operatorname{Gr}, \mathbb{F}_p)) \otimes \mathbb{F}_p$ 上で、mod $p$ Satake同型写像の逆写像 $\mathcal{S}^{-1}$ と一致する。これにより、逆Satake写像の幾何的実現が達成された。