[論文レビュー] Phase transition in one-dimensional subshifts

Nicolai Haydn|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正のトポロジカルエントロピーを有する明示的な1次元混合サブシフトを構成し、 Hölder連続なポテンシャルに対して複数のエルゴード的最大エントロピー測度および互いに特異な平衡状態を有することを示す。長期間のゼロブロックで分離された複数のフルシフトを埋め込むことで、非可約かつ混合的であるにもかかわらず、一意な平衡状態を有しないことが示され、通常の正則性条件下での一意性仮定に反する。

ABSTRACT

In this note we give simple examples of a one-dimensional mixing subshift with positive topological entropy which have two distinct measures of maximal entropy. We also give examples of subshifts which have two mutually singular equilibrium states for Hölder continuous functions. We also indicate how the construction can be extended to yield examples with any number of measures of maximal entropy of equilibrium states.

研究の動機と目的

• 1次元混合サブシフトが正のトポロジカルエントロピーを有する場合に、最大エントロピー測度が複数存在しうることを示し、一般的な一意性仮定に反することを明らかにすること。
• Hölder連続ポテンシャルに対して、複数の互いに特異な平衡状態を有する例を構築し、通常の一意性結果を超えること。
• 構成法を一般化し、任意の有限または無限個の異なる平衡状態を有する系を生成できることを示すこと。
• 複雑または病理的なポテンシャルを必要とせず、段階的相転移を示す明示的かつ単純な例を提供すること。

提案手法

• アルファベット 𝒜 = {0} ∪ 𝒢 ∪ 𝒴 におけるサブシフト Σ を定義し、ここに 𝒢 と 𝒴 はそれぞれ緑色記号と黄色記号の集合であり、互いに素で、それぞれフルシフトを形成する。
• 異なる色の語の間には長さ ≥ τ(|α| + |β|) のゼロブロックによる分離が要求され、τ > 0 により混合性が保証される。
• 単一のフルシフト Σ𝒢 におけるHölder連続ポテンシャル f の拡張として、Σ 上のポテンシャル関数 g を構成し、ゼロ語上では g を sup f に設定する。
• 変分原理を用いて、圧力 P(g) が個々の埋め込みフルシフト Σj に台を持つ不変測度によって実現されることを示す。
• エントロピーと圧力の推定を用いて、τ が十分に大きいとき、多色語からの寄与が無視可能であることを示し、これにより平衡状態が個々の色シフトに集中することを保証する。
• P𝒢(f) ≥ sup f + log 2 かつ τ が十分に大きいとき、各埋め込みシフトが g に対して異なる、互いに特異な平衡状態を有することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のトポロジカルエントロピーを有する1次元混合サブシフトが、最大エントロピー測度を1つより多く有する可能性はあるか？
• RQ2 混合サブシフト上でのHölder連続ポテンシャルは、必ず一意な平衡状態を有するのか？
• RQ3 このような系において、異なる平衡状態の数を制御し、無限大にまで拡張可能か？
• RQ4 遷移ルール（例えばゼロブロック長 τ）にどのような条件を課すと、平衡状態が互いに特異的であり、埋め込みサブシフトに台を持つようになるか？
• RQ5 異なる τ および ν 値において、拡張されたポテンシャルの圧力は、個々の埋め込みサブシフト上の圧力とどのように比較されるか？

主な発見

• τ ≥ log 3 / log ν のとき、構築されたサブシフトのトポロジカルエントロピーは log ν に等しく、各埋め込みフルシフトのそれと一致する。
• τ ≥ log 3ν / (P𝒢(f) − sup f) − 1 のとき、拡張されたポテンシャル g に対して2つの互いに特異な平衡状態が存在する。
• L ≥ 2 個の埋め込みフルシフトに対して、τ ≥ log(5ν) / (P𝒢(f) − sup f) − 1 ならば、L 個の互いに特異な平衡状態が存在する。
• 無限個の埋め込みフルシフトと ν ≥ 3 のとき、τ ≥ log 5ν / (P₁(f) − sup f) − 1 ならば、無限個の互いに特異な平衡状態が存在する。
• 拡張されたポテンシャル g の圧力 P(g) は P𝒢(f) に等しく、各埋め込みシフトが異なる平衡状態を寄与させることを確認する。
• 構成法により、すべての τ > 0 に対してトポロジカル混合性が保証され、非一意性が強い混合性を持つ系でも発生することを示している。