[論文レビュー] Pixton's formula and Abel-Jacobi theory on the Picard stack

Younghan Bae, David Holmes+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 73被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、対数幾何とb-チャウサイクル技法を用いて、ピカードスタック上のねじれ型二重ループサイクルの普遍的公式をピクソンの公式によって確立する。コンパクト化された曲線のモジュライ空間におけるねじれ型有理型微分形式のモジュライ空間の基本的クラスがピクソンの公式に従うことが証明され、長年の予想が解決され、ピカードスタックの操作的チャウ環における新しいタウトロジカル関係が得られる。

ABSTRACT

Let $A=(a_1,\ldots,a_n)$ be a vector of integers with $d=\sum_{i=1}^n a_i$. By partial resolution of the classical Abel-Jacobi map, we construct a universal twisted double ramification cycle $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ as an operational Chow class on the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ of $n$-pointed genus $g$ curves carrying a degree $d$ line bundle. The method of construction follows the log (and b-Chow) approach to the standard double ramification cycle with canonical twists on the moduli space of curves [arXiv:1707.02261, arXiv:1711.10341, arXiv:1708.04471]. Our main result is a calculation of $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ on the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ via an appropriate interpretation of Pixton's formula in the tautological ring. The basic new tool used in the proof is the theory of double ramification cycles for target varieties [arXiv:1812.10136]. The formula on the Picard stack is obtained from [arXiv:1812.10136] for target varieties $\mathbb{CP}^n$ in the limit $n ightarrow \infty$. The result may be viewed as a universal calculation in Abel-Jacobi theory. As a consequence of the calculation of $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ on the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$, we prove that the fundamental classes of the moduli spaces of twisted meromorphic differentials in $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ are exactly given by Pixton's formula (as conjectured in the appendix to [arXiv:1508.07940] and in [arXiv:1607.08429]). The comparison result of fundamental classes proven in [arXiv:1909.11981] plays a crucial role in our argument. We also prove the set of relations in the tautological ring of the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ associated to Pixton's formula.

研究の動機と目的

• 曲線のモジュライ空間から、線束を備えた曲線のピカードスタックへ、二重ループサイクル理論を拡張すること。
• ピクソンの公式を用いて、ピカードスタック上のねじれ型二重ループサイクルの普遍的計算を提供すること。
• コンパクト化された曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 内のねじれ型有理型微分形式のモジュライ空間の基本的クラスがピクソンの公式によって与えられることを証明し、予想を確認すること。
• ピクソンの公式を用いて、ピカードスタック $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ の操作的チャウ環における完全なタウトロジカル関係のセットを確立すること。

提案手法

• アーベル＝ジャコビ写像の部分的解消を用いて、ピカードスタック $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ 上の普遍的ねじれ型二重ループサイクル $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ を構成する。
• 対数幾何と相対的線束を用いて、対数的およびb-チャウのアプローチによりサイクルを定義する。
• 特に $\mathbb{CP}^n$ における $n \to \infty$ の極限において、ターゲット多様体の二重ループサイクル理論を用い、公式を導出する。
• 文献[42]における基本的クラスの比較結果を用いて、ピカードスタック上のサイクルと $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上の既知の公式との関係を確立する。
• 双対性、マークの再重み付け、ねじれに関する不変性を用いて、一般の場合をより単純な設定に還元する。
• $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(\mathbb{P}^l, d)$ 上での引き戻しの単射性と消滅結果を用いて、ピクソンの公式が高次元コドメインで消えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重ループサイクルは、曲線のモジュライ空間から、曲線上の線束を備えたピカードスタックへどのように普遍的に拡張可能か？
• RQ2 ピカードスタック上でのねじれ型二重ループサイクルに対してピクソンの公式は有効であり、ねじれ型有理型微分形式のモジュライ空間の基本的クラスを計算できるか？
• RQ3 ピクソンの公式から生じるピカードスタックの操作的チャウ環におけるタウトロジカル関係は何か？
• RQ4 ピカードスタック上のサイクル $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ は、対数的およびラバースペースの構成により、既知の公式と一致するか？
• RQ5 コドメイン $c > g$ におけるピクソンの公式の消滅が、グロモフ＝ウィトテン理論に与える影響は何か？

主な発見

• ピカードスタック $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ 上のねじれ型二重ループサイクル $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ は、タウトロジカル環におけるピクソンの公式の解釈によって計算される。
• コンパクト化された曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 内のねじれ型有理型微分形式のモジュライ空間の基本的クラスは、ピクソンの公式により正確に与えられ、[31, Appendix]および[74]における予想が確認された。
• ピクソンの公式に関連する $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ の操作的チャウ環におけるタウトロジカル関係の集合は、完全に特定された。
• $c > g$ に対して、ピクソンの公式のコドメイン-$c$ 成分は $\mathsf{CH}^c_{\mathsf{op}}(\mathfrak{Pic}_{g,n,d})$ 内で消える、すなわち $\mathsf{P}^c_{g,A,d} = 0$ である。これは[24]および[69]の結果を拡張する。
• この消滅関係を $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)$ に引き戻し、縮約された虚拟クラスとカップ積を取ることで、縮約されたグロモフ＝ウィトテン理論における新しい関係が得られる。
• この結果により、K3表面などの非退化ホロモルフィック2形式を持つターゲットに対して、グロモフ＝ウィトテン理論における不変量を計算するための新しい枠組みが提供される。