[論文レビュー] Polynomial Diffeomorphisms of $\C^2$. VIII: Quasi-Expansion

Eric Bedford, John Smillie|ArXiv.org|Mar 6, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、双曲性の一般化として、$\mathbb{C}^2$ 上の多項式微分同相写像における準拡張（quasi-expansion）の概念を導入する。これは、鞍点における不安定接空間に一意的な計量を用いて定義され、その計量による一様な拡張性を特徴付ける。本稿では、準拡張が半双曲性と同値であることを示し、両方の写像 $f$ と $f^{-1}$ が準拡張である quasi-hyperbolic システムが、一様に正のリヤプノフ指数と安定した力学的構造を示すことを証明する。応用として、最大エントロピーを持つ実微分同相写像に応用可能である。

ABSTRACT

This paper continues our investigation of the dynamics of polynomial diffeomorphisms of C^2. We introduce a dynamical property of polynomial diffeomorphisms that generalizes hyperbolicity in the way that semi-hyperbolicity generalizes hyperbolicity for polynomial maps of the complex plane.

研究の動機と目的

• 臨界点が存在しない状況下で、$\mathbb{C}^2$ 上の多項式微分同相写像における双曲性の一般化を、再帰性と計量的性質を用いて行う。
• ユークリッド計量と同値でない場合でも拡張性を捉えることができる、鞍点における不安定接空間への一意的計量の定義。
• 準拡張が一様双曲性を意味する条件を確立する。特に、面積歪度の有界性と一様化の正規族を用いる。
• 準拡張と半双曲性の関係を確立し、周期軌道における一様に正のリヤプノフ指数を示す。
• 不安定多様体の構造とその $J^*$-集合における極限を分析するための道具を構築する。

提案手法

• 鞍点 $p$ における不安定接空間 $E^{u}_p$ に、$\psi_p: \mathbb{C} \to W^u(p)$ を用いて、$\max_{|\zeta|\leq 1} G^+ \circ \psi_p = 1$ で正規化された共形一様化を用いて、一意的計量 $\|\cdot\|^{\#}$ を定義する。
• すべての鞍点において、ある定数 $\kappa > 1$ によるこの計量の一致した拡張性を、準拡張と定義する。
• Bishop の定理と補題 2.6 を用いて、$J^*$ に沿って $W^u(p,r)$ の連続的拡張を、連続的族 $V^u(x,r)$ によって行う。
• 正則な $\mathbb{C}^n$ への写像に対して、極値長と円形環のモジュラスを用いて、面積歪度の有界性を示す定理を証明する。
• 最大値の原理とグリーン関数の推定（例：$\max_{B(x,r)} G \geq \eta r^A$）を用いて、逆像のサイズを制御し、一様な拡張性を導出する。
• 線形写像 $L: \zeta \mapsto \lambda\zeta$ を用いた関数方程式 $g^k \circ \psi_y = \psi_x \circ L$ を用いて、$|\lambda|$ が一様に下から有界であることを示し、これにより準拡張が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界点が存在しない状況下で、$\mathbb{C}^2$ 上の多項式微分同相写像における双曲性をどのように一般化できるか？
• RQ2 ユークリッド計量と同値でない場合でも拡張性を捉えることができる、不安定接空間への一意的計量とは何か？
• RQ3 準拡張が一様双曲性または半双曲性を意味する条件は何か？
• RQ4 面積歪度の有界性と一様化の正規族は、準拡張とどのように関係するか？
• RQ5 写像 $\Psi_x$（$\tau(x)$ で定義される）の次数と、不安定ラミネーション $\mathcal{W}^u$ の局所的構造との関係は何か？

主な発見

• 準拡張は、一意的計量 $\|\cdot\|^{\#}$ がユークリッド計量と同値でなくてもよいことから、一様拡張より厳密に弱い。
• 定理 A.5 により、$\mathbb{C}^2$ 上の多項式微分同相写像において、準拡張は半双曲性と同値である。
• 準拡張写像では、任意のエルゴード的不変測度に関して、最大のリヤプノフ指数が正であることが保証され、$J^*$ 内のすべての周期点が鞍点であることを示唆する。
• コロナリー 6.3 により、準双曲的システムにおける周期軌道のリヤプノフ指数は、一様にゼロから離れている。
• 写像 $f$ が準拡張であるとき、$J^*$ 上で計量 $\|\cdot\|^{\#}_x$ は一様に拡張され、これは $W^u(p,r)$ をすべての $J^*$ に連続的拡張する連続的族 $V^u(x,r)$ の存在を示唆する。
• 写像 $\psi_x$ の $\psi_x^{-1}(B(0,\epsilon))$ 上への制限の次数は一様に有界であり、これは歪度の制御と準拡張の証明に不可欠である。