[論文レビュー] Proving termination with transition invariants of height omega

Stefano Berardi, Paulo Oliva+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

semigroups and automata theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、高さ 𝜔 の関係からなる、非交差的良い順序付けられた遷移不変量を持つ while-if プログラムは、その還元関係の順序数高さ ≤ 𝜔ⁿ（ある有限な n に対して）であることを確立している。さらに、関係と遷移関係がすべて原始再帰的である場合、このようなプログラムは正確に原始再帰関数を計算することを証明し、Podelski-Rybalchenko 終了枠組みの表現力を特徴づけ、Terminator アルゴリズムが正確に原始再帰関数を捉えているという予想を支持する。

ABSTRACT

The Termination Theorem by Podelski and Rybalchenko states that the reduction relations which are terminating from any initial state are exactly the reduction relations whose transitive closure, restricted to the accessible states, is included in some finite union of well-founded relations. An alternative statement of the theorem is that terminating reduction relations are precisely those having a "disjunctively well-founded transition invariant". From this result the same authors and Byron Cook designed an algorithm checking a sufficient condition for termination for a while-if program. The algorithm looks for a disjunctively well-founded transition invariant, made of well-founded relations of height omega, and if it finds it, it deduces the termination for the while-if program using the Termination Theorem. This raises an interesting question: What is the status of reduction relations having a disjunctively well-founded transition invariant where each relation has height omega? An answer to this question can lead to a characterization of the set of while-if programs which the termination algorithm can prove to be terminating. The goal of this work is to prove that they are exactly the set of reduction relations having height omega^n for some n < omega. Besides, if all the relations in the transition invariant are primitive recursive and the reduction relation is the graph of the restriction to some primitive recursive set of a primitive recursive map, then a final state is computable by some primitive recursive map in the initial state. As a corollary we derive that the set of functions, having at least one implementation in Podelski Rybalchenko while-if language with a well-founded disjunctively transition invariant where each relation has height omega, is exactly the set of primitive recursive functions.

研究の動機と目的

• 高さ 𝜔 の関係からなる非交差的良い順序付けられた遷移不変量を持つ while-if プログラムのクラスを特徴づけること。
• このような不変量を許容する還元関係の順序数高さを特定し、証明理論的強さと計算的表現力の関係を明確にすること。
• すべての関係が原始再帰的である場合、最終状態とステップ数が原始再帰関数によって計算可能であることを示すこと。
• Podelski-Rybalchenko 終了定理に基づく Terminator アルゴリズムが、𝜔高さの不変量に制限した場合に正確に原始再帰関数を捉えているという予想を支持すること。

提案手法

• Ramsey の定理の構成的・直観的双対として H-閉包定理を導入し、構成的設定下での終了定理の証明を可能にする。
• k 分岐木を減少列の構造をモデル化するために定義し、順序数の自然和を用いてその順序数高さを計算する。
• k 進木への包含関係による H(R₁ ∪ … ∪ Rₖ) 順序のシミュレーションを用い、高さ ≤ αᵢ である関係の和の順序数高さを 2^(α₁ ⊕ … ⊕ αₖ) で上界付ける。
• 遷移不変量を k 進木へ原始再帰的埋め込みを構成し、終了までのステップ数に対する一様な原始再帰的境界を導出する。
• 原始再帰的領域上の原始再帰的写像のグラフとして定義される還元関係に対して、𝜔高さの遷移不変量の存在が、最終状態の原始再帰的計算可能性を示す。
• 関数合成と原始再帰の帰納法を適用し、Podelski-Rybalchenko の while-if 言語で 𝜔高さ不変量を用いて実装可能な任意の関数が原始再帰的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのクラスの while-if プログラムが、高さ 𝜔 の関係からなる遷移不変量を用いて終了を証明可能か？
• RQ2 非交差的良い順序付けられた遷移不変量（高さ 𝜔 の関係を含む）を許容する還元関係の最大の順序数高さは何か？
• RQ3 このようなプログラムのステップ数と最終状態は、原始再帰関数によって計算可能か？
• RQ4 Podelski-Rybalchenko 終了アルゴリズム（および Terminator アルゴリズム）は、𝜔高さ不変量に制限した場合に正確に原始再帰関数を捉えているか？
• RQ5 このような不変量の順序数的強さを特徴づける、構成的で直観的論理的な終了定理の証明は存在するか？

主な発見

• 高さ 𝜔 の関係からなる非交差的良い順序付けられた遷移不変量を持つ還元関係の集合は、ある有限な n に対して順序数高さ ≤ 𝜔ⁿ である関係の集合に正確に一致する。
• k 個の高さ 𝜔 の関係の和の順序数高さは 2^(𝜔 ⊕ … ⊕ 𝜔) = 2^𝜔 で上界付けられ、これは 𝜔^𝜔 よりも厳密に小さい。
• 高さ 𝜔 の遷移不変量と原始再帰的関係を持つ任意の while-if プログラムについて、ステップ数と最終状態の両方が原始再帰関数によって計算可能である。
• このような不変量を用いた Podelski-Rybalchenko の while-if 言語で実装可能な関数のクラスは、正確に原始再帰関数のクラスに一致する。
• 本稿では H-閉包定理による構成的証明を通じて終了定理を示し、終了に関する直観的論理的推論を可能にする。
• 結果は、𝜔高さ不変量を用いた場合に、Terminator アルゴリズムが原始再帰関数の終了のみを証明可能であるという予想を支持する。