[論文レビュー] Queues with heterogeneous servers and uninformed customers: who works the most?

Fabricio B. Cabral|ArXiv.org|Jun 4, 2007

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非均一なサーバーと情報が得られない顧客を有する M|M|n キューを分析し、速いサービスレートにもかかわらず、顧客ルーティングのランダム性のため、最も速いサーバーは最も遅いサーバーよりもビジーである確率が低くなることを示している。しかし、最も速いサーバーはより高い効果的サービスレートを提供しており、これは全体としてより多くの作業を処理していることを意味し、『誰が最も作業しているか』というパラドックスを解消している。

ABSTRACT

In this paper, we consider systems that can be modelled by $M \mid M \mid n$ queues with heterogeneous servers and non informed customers. Considering any two servers: we show that the probability that the fastest server is busy is smaller than the probability that the slowest server is busy. Moreover, we show that the effective rate of service done by the fastest server is larger than effective rate of service done by the slowest server.

研究の動機と目的

• 顧客がサーバーの速度を区別できないマルチサーバー・キューにおいて、どのサーバーが最も多く作業しているかを特定すること。
• 非均一なサービスレートと非情報化された顧客を有するシステムを、M|M|n キューイング枠組みでモデル化すること。
• このようなシステムにおけるサーバーの利用度と効果的サービスレートのトレードオフを定量化すること。
• マコビアン仮定の下で、サーバーのビジー確率および効果的サービスレートの解析的表現を導出すること。
• 速いサーバーが利用度が低くても、依然としてより多くの作業を処理するという直感に反するパラドックスを解明すること。

提案手法

• 状態をサーバーのビジー／アイドル状態とキュー長で定義した連続時間マコビアン・チェインとしてシステムをモデル化する。
• 到着レート λ および個々のサービスレート μ₁ ≥ μ₂ ≥ … ≥ μₙ を含む、バランス方程式を用いて定常確率を導出する。
• 特定のサーバー構成の確率を計算するために、サーバーの部分集合に関する組み合わせ的合計を用いる。
• 定常分布を用いて、Pₗⁿ（サーバー l がビジーである確率）および μₗPₗⁿ（効果的サービスレート）の式を導出する。
• μₗ > μₘ を満たす2つのサーバー l と m を、Pₗⁿ − Pₘⁿ および μₗPₗⁿ − μₘPₘⁿ の差分を用いて比較する。
• 不等式 μₘ/μₗ Pₘⁿ < Pₗⁿ < Pₘⁿ を用いて、相対的利用度を特徴付ける境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非均一なサーバーと情報が得られない顧客を有するマルチサーバー・キューにおいて、どのサーバーがより頻繁にビジー状態にあるか。
• RQ2 速いサーバーはその速度のおかげで利用度が高くなるのか、それとも顧客ルーティングのランダム性のおかげで利用度が低くなるのか。
• RQ3 サービスレートとビジー確率の積として定義される効果的サービスレートは、速いサーバーと遅いサーバーでどのように比較されるか。
• RQ4 サーバーの速度と利用度の関係を数学的に境界づけることができるか。
• RQ5 速いサーバーが利用度が低くても、依然としてより多くの作業を処理するという直感に反する結果は、どのように説明できるか。

主な発見

• 最も速いサーバーがビジーである確率 Pₗⁿ は、最も遅いサーバーがビジーである確率 Pₘⁿ よりも厳密に小さい、すなわち Pₗⁿ < Pₘⁿ である。
• 利用度が低いにもかかわらず、最も速いサーバーの効果的サービスレート μₗPₗⁿ は、最も遅いサーバーの μₘPₘⁿ を上回り、結果としてより多くの作業を処理している。
• 効果的サービスレートの差は正である：μₗPₗⁿ − μₘPₘⁿ > 0 であり、速いサーバーがより多くの作業負荷を処理していることを確認している。
• ビジー確率の関係は境界で特徴づけられる：μₘ/μₗ Pₘⁿ < Pₗⁿ < Pₘⁿ であり、速いサーバーは利用度が低いが、無視できないことを示している。
• 標準的な M|M|n の仮定（非可約かつ正再帰的なマコビアン・チェイン）の下で、任意の 0 < λ < μⁿ および μₗ > μₘ に対してこの結果は成り立つ。
• パラドックスは解消されている：速いサーバーはビジー状態にいる頻度は低いが、高いサービスレートのおかげでより多くのサービスを提供し、作業負荷の観点ではより多く作業している。